Google
Câu hỏi: Xét hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-1+i \right|=1,\left| {{z}_{2}}+1-i \right|=2$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-2+2i \right|=\sqrt{3}.$ Giá trị lớn nhất của $\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}-1-5i \right|$ bằng
A. $6+\sqrt{37}$
B. $5+\sqrt{23}$
C. $6+\sqrt{11}$
D. $6+\sqrt{13}$
A. $6+\sqrt{37}$
B. $5+\sqrt{23}$
C. $6+\sqrt{11}$
D. $6+\sqrt{13}$
Cách giải:
Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}.$
Do $\left| {{z}_{1}}-1+i \right|=1$ nên ta có: $MA=1$ với $A\left( 1;-1 \right).$
Do $\left| {{z}_{2}}+1-i \right|=2$ nên ta có: $NB=2$ với $B\left( -1;1 \right).$
Từ $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-2+2i \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-2+2i \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left| \left( {{z}_{1}}-1+i \right)-\left( {{z}_{2}}+1-i \right) \right|=\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{NB} \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow M{{A}^{2}}+N{{B}^{2}}-2.\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{NB}=3\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{NB}=1$
$\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}-1-5i \right|=\left| 3\left( {{z}_{1}}-1+i \right)+2\left( {{z}_{2}}+1-i \right)-6i \right|\le \left| 3\left( {{z}_{1}}-1+i \right)+2\left( {{z}_{2}}+1-i \right) \right|+\left| -6i \right|=P+6$
Với $P=\left| 3\left( {{z}_{1}}-1+i \right)+2\left( {{z}_{2}}+1-i \right) \right|=\left| 3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{NB} \right|$
Xét ${{P}^{2}}=\left| 3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{NB} \right|=9M{{A}^{2}}+4N{{B}^{2}}+12.\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{NB}={{9.1}^{2}}+{{4.2}^{2}}+12.1=37$
$\Rightarrow P=\sqrt{37}$
Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là $6+\sqrt{37}$.
Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}.$
Do $\left| {{z}_{1}}-1+i \right|=1$ nên ta có: $MA=1$ với $A\left( 1;-1 \right).$
Do $\left| {{z}_{2}}+1-i \right|=2$ nên ta có: $NB=2$ với $B\left( -1;1 \right).$
Từ $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-2+2i \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-2+2i \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left| \left( {{z}_{1}}-1+i \right)-\left( {{z}_{2}}+1-i \right) \right|=\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{NB} \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow M{{A}^{2}}+N{{B}^{2}}-2.\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{NB}=3\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{NB}=1$
$\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}-1-5i \right|=\left| 3\left( {{z}_{1}}-1+i \right)+2\left( {{z}_{2}}+1-i \right)-6i \right|\le \left| 3\left( {{z}_{1}}-1+i \right)+2\left( {{z}_{2}}+1-i \right) \right|+\left| -6i \right|=P+6$
Với $P=\left| 3\left( {{z}_{1}}-1+i \right)+2\left( {{z}_{2}}+1-i \right) \right|=\left| 3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{NB} \right|$
Xét ${{P}^{2}}=\left| 3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{NB} \right|=9M{{A}^{2}}+4N{{B}^{2}}+12.\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{NB}={{9.1}^{2}}+{{4.2}^{2}}+12.1=37$
$\Rightarrow P=\sqrt{37}$
Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là $6+\sqrt{37}$.
Đáp án A.