Google
Câu hỏi: Xét hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=2$ và $\left| 2{{z}_{1}}-3{{z}_{2}}-7i \right|=4.$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}-2i \right|+\left| {{z}_{2}}+i \right|$ là
A. $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
B. $2\sqrt{3}$.
C. $4\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
B. $2\sqrt{3}$.
C. $4\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
Đặt ${{w}_{1}}={{z}_{1}}-2i; {{w}_{2}}={{z}_{2}}+i.$ Suy ra ${{z}_{1}}={{w}_{1}}+2i; {{z}_{2}}= {{w}_{2}}-i.$
Khi đó: $\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=2$ $\Leftrightarrow \left| {{w}_{1}}+2i+2\left( {{w}_{2}}-i \right) \right|=2$ $\Leftrightarrow \left| {{w}_{1}}+2{{w}_{2}} \right|=2$ $\Leftrightarrow {{\left| {{w}_{1}}+2{{w}_{2}} \right|}^{2}}=4$
$\Leftrightarrow \left( {{w}_{1}}+2{{w}_{2}} \right).\overline{\left( {{w}_{1}}+2{{w}_{2}} \right)}=4$ $\Leftrightarrow \left( {{w}_{1}}+2{{w}_{2}} \right).\left( \overline{{{w}_{1}}}+2\overline{{{w}_{2}}} \right)=4$
$\Leftrightarrow {{\left| {{w}_{1}} \right|}^{2}}+4{{\left| {{w}_{2}} \right|}^{2}}+2{{w}_{1}}\overline{{{w}_{2}}}+2\overline{{{w}_{1}}}{{w}_{2}}=4$ $\Leftrightarrow 3{{\left| {{w}_{1}} \right|}^{2}}+12{{\left| {{w}_{2}} \right|}^{2}}+6{{w}_{1}}\overline{{{w}_{2}}}+6\overline{{{w}_{1}}}{{w}_{2}}=12 (1)$.
Tương tự: $\left| 2{{z}_{1}}-3{{z}_{2}}-7i \right|=4$ $\Leftrightarrow \left| 2\left( {{w}_{1}}+2i \right)-3\left( {{w}_{2}}-i \right)-7i \right|=4$ $\Leftrightarrow \left| 2{{w}_{1}}-3{{w}_{2}} \right|=4$
$\Leftrightarrow {{\left| 2{{w}_{1}}-3{{w}_{2}} \right|}^{2}}=16$ $\Leftrightarrow 4{{\left| {{w}_{1}} \right|}^{2}}+9{{\left| {{w}_{2}} \right|}^{2}}-6{{w}_{1}}\overline{{{w}_{2}}}-6\overline{{{w}_{1}}}{{w}_{2}}=16 (2)$.
Từ (1) và (2) suy ra ${{\left| {{w}_{1}} \right|}^{2}}+3{{\left| {{w}_{2}} \right|}^{2}}=4$.
Do đó: $P=\left| {{w}_{1}} \right|+\left| {{w}_{2}} \right|$ $=1.\left| {{w}_{1}} \right|+\sqrt{3}.\left| {{w}_{2}} \right|.\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $\le \sqrt{\left( {{\left| {{w}_{1}} \right|}^{2}}+3{{\left| {{w}_{2}} \right|}^{2}} \right)\left( {{1}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}} \right)}$ $=\sqrt{4.\dfrac{4}{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ bằng $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ khi $\left| {{w}_{1}} \right|=\sqrt{3}; \left| {{w}_{2}} \right|=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
Khi đó: $\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=2$ $\Leftrightarrow \left| {{w}_{1}}+2i+2\left( {{w}_{2}}-i \right) \right|=2$ $\Leftrightarrow \left| {{w}_{1}}+2{{w}_{2}} \right|=2$ $\Leftrightarrow {{\left| {{w}_{1}}+2{{w}_{2}} \right|}^{2}}=4$
$\Leftrightarrow \left( {{w}_{1}}+2{{w}_{2}} \right).\overline{\left( {{w}_{1}}+2{{w}_{2}} \right)}=4$ $\Leftrightarrow \left( {{w}_{1}}+2{{w}_{2}} \right).\left( \overline{{{w}_{1}}}+2\overline{{{w}_{2}}} \right)=4$
$\Leftrightarrow {{\left| {{w}_{1}} \right|}^{2}}+4{{\left| {{w}_{2}} \right|}^{2}}+2{{w}_{1}}\overline{{{w}_{2}}}+2\overline{{{w}_{1}}}{{w}_{2}}=4$ $\Leftrightarrow 3{{\left| {{w}_{1}} \right|}^{2}}+12{{\left| {{w}_{2}} \right|}^{2}}+6{{w}_{1}}\overline{{{w}_{2}}}+6\overline{{{w}_{1}}}{{w}_{2}}=12 (1)$.
Tương tự: $\left| 2{{z}_{1}}-3{{z}_{2}}-7i \right|=4$ $\Leftrightarrow \left| 2\left( {{w}_{1}}+2i \right)-3\left( {{w}_{2}}-i \right)-7i \right|=4$ $\Leftrightarrow \left| 2{{w}_{1}}-3{{w}_{2}} \right|=4$
$\Leftrightarrow {{\left| 2{{w}_{1}}-3{{w}_{2}} \right|}^{2}}=16$ $\Leftrightarrow 4{{\left| {{w}_{1}} \right|}^{2}}+9{{\left| {{w}_{2}} \right|}^{2}}-6{{w}_{1}}\overline{{{w}_{2}}}-6\overline{{{w}_{1}}}{{w}_{2}}=16 (2)$.
Từ (1) và (2) suy ra ${{\left| {{w}_{1}} \right|}^{2}}+3{{\left| {{w}_{2}} \right|}^{2}}=4$.
Do đó: $P=\left| {{w}_{1}} \right|+\left| {{w}_{2}} \right|$ $=1.\left| {{w}_{1}} \right|+\sqrt{3}.\left| {{w}_{2}} \right|.\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $\le \sqrt{\left( {{\left| {{w}_{1}} \right|}^{2}}+3{{\left| {{w}_{2}} \right|}^{2}} \right)\left( {{1}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}} \right)}$ $=\sqrt{4.\dfrac{4}{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ bằng $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ khi $\left| {{w}_{1}} \right|=\sqrt{3}; \left| {{w}_{2}} \right|=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
Đáp án A.