Xét hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thoả mãn $\left|...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Xét hai số phức

z_{1}, z_{2}

thoả mãn

| z_{1} + 2 z_{2} | = 2

và

| 2 z_{1} - 3 z_{2} - 7 i | = 4.

Giá trị lớn nhất của biểu thức

P = | z_{1} - 2 i | + | z_{2} + i |

là
A.

\frac{4 \sqrt{3}}{3}

.
B.

2 \sqrt{3}

.
C.

4 \sqrt{3}

.
D.

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

.

Đặt

w_{1} = z_{1} - 2 i; w_{2} = z_{2} + i .

Suy ra

z_{1} = w_{1} + 2 i; z_{2} = w_{2} - i .

Khi đó:

| z_{1} + 2 z_{2} | = 2

\Leftrightarrow | w_{1} + 2 i + 2 (w_{2} - i) | = 2

\Leftrightarrow | w_{1} + 2 w_{2} | = 2

\Leftrightarrow {| w_{1} + 2 w_{2} |}^{2} = 4

\Leftrightarrow (w_{1} + 2 w_{2}) . \overset{―}{(w_{1} + 2 w_{2})} = 4

\Leftrightarrow (w_{1} + 2 w_{2}) . (\overset{―}{w_{1}} + 2 \overset{―}{w_{2}}) = 4

\Leftrightarrow {| w_{1} |}^{2} + 4 {| w_{2} |}^{2} + 2 w_{1} \overset{―}{w_{2}} + 2 \overset{―}{w_{1}} w_{2} = 4

\Leftrightarrow 3 {| w_{1} |}^{2} + 12 {| w_{2} |}^{2} + 6 w_{1} \overset{―}{w_{2}} + 6 \overset{―}{w_{1}} w_{2} = 12 (1)

.
Tương tự:

| 2 z_{1} - 3 z_{2} - 7 i | = 4

\Leftrightarrow | 2 (w_{1} + 2 i) - 3 (w_{2} - i) - 7 i | = 4

\Leftrightarrow | 2 w_{1} - 3 w_{2} | = 4

\Leftrightarrow {| 2 w_{1} - 3 w_{2} |}^{2} = 16

\Leftrightarrow 4 {| w_{1} |}^{2} + 9 {| w_{2} |}^{2} - 6 w_{1} \overset{―}{w_{2}} - 6 \overset{―}{w_{1}} w_{2} = 16 (2)

.
Từ (1) và (2) suy ra

{| w_{1} |}^{2} + 3 {| w_{2} |}^{2} = 4

.
Do đó:

P = | w_{1} | + | w_{2} |

= 1. | w_{1} | + \sqrt{3} . | w_{2} | . \frac{1}{\sqrt{3}}

\leq \sqrt{({| w_{1} |}^{2} + 3 {| w_{2} |}^{2}) (1^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2})}

= \sqrt{4. \frac{4}{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} .

Vậy giá trị lớn nhất của

P

bằng

\frac{4 \sqrt{3}}{3}

khi

| w_{1} | = \sqrt{3}; | w_{2} | = \frac{1}{\sqrt{3}} .

Đáp án A.

Xét hai số phức z1,z2 thoả mãn $\left|...