Xét hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thoả mãn $\left|...

Gọi ${{z}_{1}}=x+yi, ( x,y\in \mathbb{R})$.
Ta có: $\left| {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}} \right|=2\left| {{z}_{1}}-2-i \right|$.
$\Leftrightarrow \left| x+yi-x+yi \right|=2\left| x+yi-2-i \right|$.
$\Leftrightarrow \left| 2yi \right|=2\left| (x-2)+(y-1)i \right|$.
$\Leftrightarrow 2\sqrt{{{y}^{2}}}=2\sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}}$.
$\Leftrightarrow {{y}^{2}}={{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}$.
$\Leftrightarrow y=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-2x+\dfrac{5}{2}$.
Vậy tập hợp các điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ là Parabol $(P): y=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-2x+\dfrac{5}{2}.$
Gọi ${{z}_{2}}=a+bi, ( a,b\in \mathbb{R})$.
Ta có: $\left| {{z}_{2}}+i \right|=\left| {{z}_{2}}+1+2i \right|$.
$\Leftrightarrow \left| a+bi+i \right|=\left| a+bi+1+2i \right|$
$\Leftrightarrow \left| a+(b+1)i \right|=\left| (a+1)+(b+2)i \right|$.
$\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}}=\sqrt{{{(a+1)}^{2}}+{{(b+2)}^{2}}}$.
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}={{(a+1)}^{2}}+{{(b+2)}^{2}}$
$\Leftrightarrow a+b+2=0$.
Vây tập hợp các điểm $N(x,y)$ biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường thẳng $\Delta :x+y+2=0$.
Ta có:
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN\ge d(M,\Delta )=\dfrac{\left| x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-2x+\dfrac{5}{2}+2 \right|}{\sqrt{2}}$ $ =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left| \dfrac{{{x}^{2}}}{2}-x+\dfrac{9}{2} \right|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left| \dfrac{1}{2}{{(x-1)}^{2}}+4 \right|\ge 2\sqrt{2.}$
Dấu $''=''$ xẩy ra khi và chỉ khi $x-1=0\Leftrightarrow x=1$.
Vậy $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt{2} khi x=1.$