Google
Câu hỏi: Xét hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$, thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+1 \right|=1,\left| {{z}_{2}}+2 \right|=\sqrt{3}$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-1 \right|=\sqrt{6}$. Giá trị lớn nhất của $\left| 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7-3i \right|$ bằng
A. $3\sqrt{2}+3$.
B. $2\sqrt{2}-3$.
C. $3-\sqrt{3}$.
D. $2\sqrt{3}+2$.
A. $3\sqrt{2}+3$.
B. $2\sqrt{2}-3$.
C. $3-\sqrt{3}$.
D. $2\sqrt{3}+2$.
Gọi ${{z}_{1}}=a+bi, {{z}_{2}}=c+di$, $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.
Từ giả thiết ta có: ${{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1,{{\left( c+2 \right)}^{2}}+{{d}^{2}}=3$.
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-1 \right|=\left| \left( a+1 \right)+bi-\left( c+2 \right)-di \right|=\sqrt{6}$
$\Leftrightarrow {{\left[ \left( a+1 \right)-\left( c+2 \right) \right]}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}=6$ $\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}-2\left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+{{\left( c+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{d}^{2}}-2bd=6$
$\Leftrightarrow -2\left[ \left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+bd \right]=2$ $\Leftrightarrow \left[ \left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+bd \right]=-1$
Ta có: $5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7=5\left( {{z}_{1}}+1 \right)+\left( {{z}_{2}}+2 \right)=5\left( a+bi+1 \right)+\left( c+di+2 \right)$
$\Leftrightarrow 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7=\left( 5a+c+7 \right)+\left( 5b+d \right)i=5\left( a+1 \right)+\left( c+2 \right)+\left( 5b+d \right)i$
$\Rightarrow \left| 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7 \right|=\sqrt{{{\left[ 5\left( a+1 \right)+\left( c+2 \right) \right]}^{2}}+{{\left( 5b+d \right)}^{2}}}$
$=\sqrt{25{{\left( a+1 \right)}^{2}}+10\left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+{{\left( c+2 \right)}^{2}}+25{{b}^{2}}+10bd+{{d}^{2}}}$
$=\sqrt{10\left[ \left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+bd \right]+28}=3\sqrt{2}$.
Áp dụng bất đẳng thức môđun: $\left| z+{z}' \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}'} \right|$. $\Rightarrow \left| 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7-3i \right|\le \left| 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7 \right|+\left| -3i \right|=3\sqrt{2}+3$.
Vậy giá trị lớn nhất của $P=3\sqrt{2}+3$.
Từ giả thiết ta có: ${{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1,{{\left( c+2 \right)}^{2}}+{{d}^{2}}=3$.
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-1 \right|=\left| \left( a+1 \right)+bi-\left( c+2 \right)-di \right|=\sqrt{6}$
$\Leftrightarrow {{\left[ \left( a+1 \right)-\left( c+2 \right) \right]}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}=6$ $\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}-2\left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+{{\left( c+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{d}^{2}}-2bd=6$
$\Leftrightarrow -2\left[ \left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+bd \right]=2$ $\Leftrightarrow \left[ \left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+bd \right]=-1$
Ta có: $5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7=5\left( {{z}_{1}}+1 \right)+\left( {{z}_{2}}+2 \right)=5\left( a+bi+1 \right)+\left( c+di+2 \right)$
$\Leftrightarrow 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7=\left( 5a+c+7 \right)+\left( 5b+d \right)i=5\left( a+1 \right)+\left( c+2 \right)+\left( 5b+d \right)i$
$\Rightarrow \left| 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7 \right|=\sqrt{{{\left[ 5\left( a+1 \right)+\left( c+2 \right) \right]}^{2}}+{{\left( 5b+d \right)}^{2}}}$
$=\sqrt{25{{\left( a+1 \right)}^{2}}+10\left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+{{\left( c+2 \right)}^{2}}+25{{b}^{2}}+10bd+{{d}^{2}}}$
$=\sqrt{10\left[ \left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+bd \right]+28}=3\sqrt{2}$.
Áp dụng bất đẳng thức môđun: $\left| z+{z}' \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}'} \right|$. $\Rightarrow \left| 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7-3i \right|\le \left| 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7 \right|+\left| -3i \right|=3\sqrt{2}+3$.
Vậy giá trị lớn nhất của $P=3\sqrt{2}+3$.
Đáp án A.