Xét hai số phức $z_1;z_2$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}...

Cách 1:
Đặt $z_1=a+bi,z_2=c+di$ (với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ )
Theo bài ra ta có:
$\left|z_1\right|=\sqrt{2}\iff a^2+b^2=2;\left|z_2\right|=\sqrt{5}\iff c^2+d^2=5$
$|z_1-z_2|=3\iff {(a-c)}^2+{(b-d)}^2=9\iff a^2+b^2+c^2+d^2-2(ac+bd)=9$ $\Rightarrow ac+bd=-1$
$|z_1+2z_2|=\sqrt{{(a+2c)}^2+{(b+2d)}^2}=\sqrt{a^2+b^2+4(c^2+d^2)+4(ac+bd)}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
Theo tính chất $|z+z^{\prime }|\le \left|z\right|+\left|z^{\prime }\right|$ ta có: $|{\text{z}}_1+2z_2-3i|\le |{\text{z}}_1+2z_2|+|-3i|=3\sqrt{2}+3$
Cách 2:

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức $z_1$, M thuộc đường tròn tâm O bán kính $\sqrt{2}\Rightarrow OM=\sqrt{2}$
Gọi N là điểm biểu diễn cho số phức $z_2$, N thuộc đường tròn tâm O bán kính $\sqrt{5}\Rightarrow ON=\sqrt{5}$
Suy ra $\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}$ là điểm biểu diễn cho $z_1-z_2\Rightarrow MN=|z_1-z_2|=3$
Gọi P là điểm biểu diễn cho số phức $2z_2$, P thuộc đường tròn tâm O bán kính $2\sqrt{5}\Rightarrow OP=2\sqrt{5}$
Gọi Q là điểm biểu diễn cho số phức $3i$, $Q(0;3)\Rightarrow OQ=3$
Dựng hình bình hành $OMRP$ ta có $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP}\Rightarrow$ R là điểm biểu diễn cho số phức $z_1+2z_2$
Ta có: $\cos \widehat{MON}={\displaystyle \frac{O{M}^2+O{N}^2-M{N}^2}{2.OM.ON}}={\displaystyle \frac{2+5-9}{2.\sqrt{2}.\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{10}}}$
$O{R}^2=O{P}^2+P{R}^2-2.OP.PR.\cos \widehat{OPR}=O{P}^2+O{M}^2+2.OP.OM.\cos \widehat{MON}$
$\Rightarrow OR=\sqrt{20+2+2.2\sqrt{5}.\sqrt{2}.\left({\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{10}}}\right)}=3\sqrt{2}$
$T=|{\text{z}}_1+2z_2-3i|=|\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ}|=\left|\overrightarrow{QR}\right|=QR$
T đạt giá trị lớn nhất khi QR lớn nhất $\iff \widehat{QOR}={180}^0\Rightarrow QR=OQ+OR=3+3\sqrt{2}$
Vậy T đạt giá trị lớn nhất bằng $3+3\sqrt{2}$.