Google
Câu hỏi: Xét hai số phức ${{z}_{1}}; {{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{2}; \left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{5}$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=3$. Giá trị lớn nhất của $\left| {{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|$ bằng
A. $3\sqrt{2}-3$.
B. $3+3\sqrt{2}$.
C. $3+\sqrt{26}$.
D. $\sqrt{26}-3$.
A. $3\sqrt{2}-3$.
B. $3+3\sqrt{2}$.
C. $3+\sqrt{26}$.
D. $\sqrt{26}-3$.
Cách 1:
Đặt ${{z}_{1}}=a+bi,{{z}_{2}}=c+di$ (với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ )
Theo bài ra ta có:
$\left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2; \left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{c}^{2}}+{{d}^{2}}=5$
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=3\Leftrightarrow {{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}-2\left( ac+bd \right)=9$ $\Rightarrow ac+bd=-1$
$\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( a+2c \right)}^{2}}+{{\left( b+2d \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)+4\left( ac+bd \right)}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
Theo tính chất $\left| z+z' \right|\le \left| z \right|+\left| z' \right|$ ta có: $\left| {{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|\le \left| {{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|+\left| -3i \right|=3\sqrt{2}+3$
Cách 2:
Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{1}}$, M thuộc đường tròn tâm O bán kính $\sqrt{2}\Rightarrow OM=\sqrt{2}$
Gọi N là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{2}}$, N thuộc đường tròn tâm O bán kính $\sqrt{5}\Rightarrow ON=\sqrt{5}$
Suy ra $\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}$ là điểm biểu diễn cho ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}\Rightarrow MN=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=3$
Gọi P là điểm biểu diễn cho số phức $2{{z}_{2}}$, P thuộc đường tròn tâm O bán kính $2\sqrt{5}\Rightarrow OP=2\sqrt{5}$
Gọi Q là điểm biểu diễn cho số phức $3i$, $Q\left( 0;3 \right)\Rightarrow OQ=3$
Dựng hình bình hành $OMRP$ ta có $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP}\Rightarrow $ R là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{1}}+2{{z}_{2}}$
Ta có: $\cos \widehat{MON}=\dfrac{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2.OM.ON}=\dfrac{2+5-9}{2.\sqrt{2}.\sqrt{5}}=\dfrac{-1}{\sqrt{10}}$
$O{{R}^{2}}=O{{P}^{2}}+P{{R}^{2}}-2.OP.PR.\cos \widehat{OPR}=O{{P}^{2}}+O{{M}^{2}}+2.OP.OM.\cos \widehat{MON}$
$\Rightarrow OR=\sqrt{20+2+2.2\sqrt{5}.\sqrt{2}.\left( \dfrac{-1}{\sqrt{10}} \right)}=3\sqrt{2}$
$T=\left| {{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|=\left| \overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ} \right|=\left| \overrightarrow{QR} \right|=QR$
T đạt giá trị lớn nhất khi QR lớn nhất $\Leftrightarrow \widehat{QOR}={{180}^{0}}\Rightarrow QR=OQ+OR=3+3\sqrt{2}$
Vậy T đạt giá trị lớn nhất bằng $3+3\sqrt{2}$.
Đặt ${{z}_{1}}=a+bi,{{z}_{2}}=c+di$ (với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ )
Theo bài ra ta có:
$\left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2; \left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{c}^{2}}+{{d}^{2}}=5$
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=3\Leftrightarrow {{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}-2\left( ac+bd \right)=9$ $\Rightarrow ac+bd=-1$
$\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( a+2c \right)}^{2}}+{{\left( b+2d \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)+4\left( ac+bd \right)}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
Theo tính chất $\left| z+z' \right|\le \left| z \right|+\left| z' \right|$ ta có: $\left| {{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|\le \left| {{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|+\left| -3i \right|=3\sqrt{2}+3$
Cách 2:
Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{1}}$, M thuộc đường tròn tâm O bán kính $\sqrt{2}\Rightarrow OM=\sqrt{2}$
Gọi N là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{2}}$, N thuộc đường tròn tâm O bán kính $\sqrt{5}\Rightarrow ON=\sqrt{5}$
Suy ra $\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}$ là điểm biểu diễn cho ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}\Rightarrow MN=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=3$
Gọi P là điểm biểu diễn cho số phức $2{{z}_{2}}$, P thuộc đường tròn tâm O bán kính $2\sqrt{5}\Rightarrow OP=2\sqrt{5}$
Gọi Q là điểm biểu diễn cho số phức $3i$, $Q\left( 0;3 \right)\Rightarrow OQ=3$
Dựng hình bình hành $OMRP$ ta có $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP}\Rightarrow $ R là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{1}}+2{{z}_{2}}$
Ta có: $\cos \widehat{MON}=\dfrac{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2.OM.ON}=\dfrac{2+5-9}{2.\sqrt{2}.\sqrt{5}}=\dfrac{-1}{\sqrt{10}}$
$O{{R}^{2}}=O{{P}^{2}}+P{{R}^{2}}-2.OP.PR.\cos \widehat{OPR}=O{{P}^{2}}+O{{M}^{2}}+2.OP.OM.\cos \widehat{MON}$
$\Rightarrow OR=\sqrt{20+2+2.2\sqrt{5}.\sqrt{2}.\left( \dfrac{-1}{\sqrt{10}} \right)}=3\sqrt{2}$
$T=\left| {{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|=\left| \overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ} \right|=\left| \overrightarrow{QR} \right|=QR$
T đạt giá trị lớn nhất khi QR lớn nhất $\Leftrightarrow \widehat{QOR}={{180}^{0}}\Rightarrow QR=OQ+OR=3+3\sqrt{2}$
Vậy T đạt giá trị lớn nhất bằng $3+3\sqrt{2}$.
Đáp án B.