Google
Câu hỏi: Xét hai số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| \left( {{z}_{1}}-2-i \right)\left( 2+2\sqrt{3}i \right) \right|=\left| \left( {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}} \right)\left( \sqrt{3}-i \right) \right|$ và $\left| {{z}_{2}}+i \right|=\left| {{z}_{2}}+1+2i \right|$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng:
A. $\sqrt{7}$
B. $2\sqrt{6}$
C. $\dfrac{34}{5}$
D. $2\sqrt{2}$
A. $\sqrt{7}$
B. $2\sqrt{6}$
C. $\dfrac{34}{5}$
D. $2\sqrt{2}$
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{1}}$.
Từ giả thuyết, suy ra,
$\left| \left( {{z}_{1}}-2-i \right) \right|.\left| \left( 2+2\sqrt{3}i \right) \right|=\left| \left( {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}} \right) \right|.\left| \left( \sqrt{3}-i \right) \right|\Leftrightarrow 2\left| \left( {{z}_{1}}-2-i \right) \right|=\left| \left( {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}} \right) \right|$
$\Leftrightarrow 2\left| \left( x-2 \right)+\left( y-1 \right)i \right|=\left| 2yi \right|\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{y}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-2y+5=0$
Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{2}}$ là parabol $\left( P \right)$ có phương trình $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+\dfrac{5}{2}$.
Gọi $N\left( a;b \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{2}}$.
Từ giả thuyết, suy ra $\left| {{z}_{2}}+i \right|=\left| {{z}_{2}}+1+2i \right|\Leftrightarrow \left| a+\left( b+1 \right)i \right|=\left| \left( a+1 \right)+\left( b+2 \right)i \right|\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}={{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}$
$2a+2b+4=0\Leftrightarrow a+b+2=0$. Suy ra tập hợp điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{2}}$ là đường thẳng có phương trình $a+b+2=0$.
Khi đó $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN$. Điểm $M\in \left( P \right)\Rightarrow M\left( x;\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+\dfrac{5}{2} \right)$
Khoảng cách $M{{N}_{\min }}=d{{\left( M,\Delta \right)}_{\min }}=\dfrac{\left| x+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+\dfrac{5}{2}+2 \right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-x+\dfrac{9}{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-x+\dfrac{9}{2} \right)$.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-x+\dfrac{9}{2} \right)$ bằng $2\sqrt{2}$, dấu "=" xảy ra khi $x=1$.
Từ giả thuyết, suy ra,
$\left| \left( {{z}_{1}}-2-i \right) \right|.\left| \left( 2+2\sqrt{3}i \right) \right|=\left| \left( {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}} \right) \right|.\left| \left( \sqrt{3}-i \right) \right|\Leftrightarrow 2\left| \left( {{z}_{1}}-2-i \right) \right|=\left| \left( {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}} \right) \right|$
$\Leftrightarrow 2\left| \left( x-2 \right)+\left( y-1 \right)i \right|=\left| 2yi \right|\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{y}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-2y+5=0$
Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{2}}$ là parabol $\left( P \right)$ có phương trình $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+\dfrac{5}{2}$.
Gọi $N\left( a;b \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{2}}$.
Từ giả thuyết, suy ra $\left| {{z}_{2}}+i \right|=\left| {{z}_{2}}+1+2i \right|\Leftrightarrow \left| a+\left( b+1 \right)i \right|=\left| \left( a+1 \right)+\left( b+2 \right)i \right|\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}={{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}$
$2a+2b+4=0\Leftrightarrow a+b+2=0$. Suy ra tập hợp điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{2}}$ là đường thẳng có phương trình $a+b+2=0$.
Khi đó $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN$. Điểm $M\in \left( P \right)\Rightarrow M\left( x;\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+\dfrac{5}{2} \right)$
Khoảng cách $M{{N}_{\min }}=d{{\left( M,\Delta \right)}_{\min }}=\dfrac{\left| x+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+\dfrac{5}{2}+2 \right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-x+\dfrac{9}{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-x+\dfrac{9}{2} \right)$.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-x+\dfrac{9}{2} \right)$ bằng $2\sqrt{2}$, dấu "=" xảy ra khi $x=1$.
Đáp án D.