Google
Câu hỏi: Xét hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thay đổi đồng thời thỏa mãn các điều kiện $\left| {{z}_{1}}-6-2i \right|=\left| {{z}_{2}}-6-2i \right|=5$ và ${{\left| {{z}_{1}}-3 \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}-3 \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}$. Đặt $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}}-3 \right|$, giá trị lớn nhất của $P$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( 4; 7 \right).$
B. $\left( 12; 13 \right).$
C. $\left( 13; 14 \right)$
D. $\left( 11; 12 \right).$
Giả sử $A\left( {{z}_{1}} \right), B\left( {{z}_{2}} \right).$ Từ giả thiết ta có:
+) $\left| {{z}_{1}}-6-2i \right|=\left| {{z}_{2}}-6-2i \right|=5\Rightarrow A,B\in $ đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 6; 2 \right)$, bán kính $R=5$.
+) ${{\left| {{z}_{1}}-3 \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}-3 \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}\Rightarrow A{{K}^{2}}+B{{K}^{2}}=A{{B}^{2}}\Rightarrow \Delta ABK$ vuông tại $K$, với $K\left( 3; 0 \right)$.
Gọi M là trung điểm của AB, J là điểm đối xứng với K qua M. Khi đó: $P=OJ$.
Theo công thức đường trung tuyến $I{{M}^{2}}=\dfrac{I{{K}^{2}}+I{{J}^{2}}}{2}-\dfrac{K{{J}^{2}}}{4}$, lại có: $I{{M}^{2}}=I{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}$
Suy ra: $I{{J}^{2}}=2A{{I}^{2}}-I{{K}^{2}}\Rightarrow IJ=\sqrt{37}.$
Điểm J di động trên đường tròn tâm I, bán kính $\sqrt{37}$ nên $O{{J}_{\max }}=OI+\sqrt{37}\approx 12,4.$
A. $\left( 4; 7 \right).$
B. $\left( 12; 13 \right).$
C. $\left( 13; 14 \right)$
D. $\left( 11; 12 \right).$
+) $\left| {{z}_{1}}-6-2i \right|=\left| {{z}_{2}}-6-2i \right|=5\Rightarrow A,B\in $ đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 6; 2 \right)$, bán kính $R=5$.
+) ${{\left| {{z}_{1}}-3 \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}-3 \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}\Rightarrow A{{K}^{2}}+B{{K}^{2}}=A{{B}^{2}}\Rightarrow \Delta ABK$ vuông tại $K$, với $K\left( 3; 0 \right)$.
Gọi M là trung điểm của AB, J là điểm đối xứng với K qua M. Khi đó: $P=OJ$.
Theo công thức đường trung tuyến $I{{M}^{2}}=\dfrac{I{{K}^{2}}+I{{J}^{2}}}{2}-\dfrac{K{{J}^{2}}}{4}$, lại có: $I{{M}^{2}}=I{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}$
Suy ra: $I{{J}^{2}}=2A{{I}^{2}}-I{{K}^{2}}\Rightarrow IJ=\sqrt{37}.$
Điểm J di động trên đường tròn tâm I, bán kính $\sqrt{37}$ nên $O{{J}_{\max }}=OI+\sqrt{37}\approx 12,4.$
Đáp án B.