Google
Câu hỏi: Xét các số thực x, y thỏa mãn ${{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right){{4}^{x}}.$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{4y}{2x+y+1}$ gần nhất với số nào dưới đây?
A. 3.
B. 1.
C. 0.
D. 2.
A. 3.
B. 1.
C. 0.
D. 2.
Ta có ${{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right){{4}^{x}}\Rightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1}}\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=x+1-{{2}^{x}}.$ Ta có ${f}'\left( x \right)=1-{{2}^{x}}\ln 2=0\Rightarrow x={{x}_{0}}.$
Ta có bảng biến thiên
Do đó để $f\left( x \right)\ge 0\Rightarrow x\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow 0\le {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1.$
Suy ra
$P=\dfrac{4y}{2x+y+1}\Rightarrow P\left( 2x+y+1 \right)=4y\Rightarrow 2Px+y\left( P-4 \right)=-P\Rightarrow 2P\left( x-1 \right)+y\left( P-4 \right)=-3P.$
Theo bất đẳng thức Buniacopxki, ta có
${{\left[ 2P\left( x-1 \right)+\left( P-4 \right)y \right]}^{2}}\le \left[ {{\left( 2P \right)}^{2}}+{{\left( P-4 \right)}^{2}} \right]\Rightarrow 9{{P}^{2}}\le 5{{P}^{2}}-8P+16\Rightarrow -1-\sqrt{5}\le P\le 1+\sqrt{5}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=x+1-{{2}^{x}}.$ Ta có ${f}'\left( x \right)=1-{{2}^{x}}\ln 2=0\Rightarrow x={{x}_{0}}.$
Ta có bảng biến thiên
Suy ra
$P=\dfrac{4y}{2x+y+1}\Rightarrow P\left( 2x+y+1 \right)=4y\Rightarrow 2Px+y\left( P-4 \right)=-P\Rightarrow 2P\left( x-1 \right)+y\left( P-4 \right)=-3P.$
Theo bất đẳng thức Buniacopxki, ta có
${{\left[ 2P\left( x-1 \right)+\left( P-4 \right)y \right]}^{2}}\le \left[ {{\left( 2P \right)}^{2}}+{{\left( P-4 \right)}^{2}} \right]\Rightarrow 9{{P}^{2}}\le 5{{P}^{2}}-8P+16\Rightarrow -1-\sqrt{5}\le P\le 1+\sqrt{5}.$
Đáp án A.