Google
Câu hỏi: Xét các số thực $x,y$ thỏa mãn $1<x<y$ và ${{\log }_{x}}y+{{\log }_{y}}{{x}^{2}}=3.$ Tìm giá trị của biểu thức $P={{\log }_{xy}}\dfrac{{{x}^{2}}+y}{2}$
A. $\dfrac{1}{6}.$
B. $\dfrac{2}{3}.$
C. $6.$
D. $\dfrac{3}{2}.$
A. $\dfrac{1}{6}.$
B. $\dfrac{2}{3}.$
C. $6.$
D. $\dfrac{3}{2}.$
Ta có ${{\log }_{x}}y+{{\log }_{y}}{{x}^{2}}=3\Leftrightarrow {{\log }_{x}}y+2{{\log }_{y}}x=3\left( 1 \right).$
Đặt $t={{\log }_{x}}y.$ Do $1<x<y\Rightarrow t>{{\log }_{x}}x\Rightarrow t>1.$ Khi đó trở thành:
$t+\dfrac{2}{t}=3\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1\left( KTM \right) \\
& t=2\left( TM \right) \\
\end{aligned} \right..$
Với $t=2$ ta có ${{\log }_{x}}y=2\Leftrightarrow y={{x}^{2}}.$
Suy ra $T={{\log }_{xy}}\dfrac{{{x}^{2}}+y}{2}={{\log }_{{{x}^{3}}}}{{x}^{2}}=\dfrac{2}{3}{{\log }_{x}}x=\dfrac{2}{3}.$
Đặt $t={{\log }_{x}}y.$ Do $1<x<y\Rightarrow t>{{\log }_{x}}x\Rightarrow t>1.$ Khi đó trở thành:
$t+\dfrac{2}{t}=3\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1\left( KTM \right) \\
& t=2\left( TM \right) \\
\end{aligned} \right..$
Với $t=2$ ta có ${{\log }_{x}}y=2\Leftrightarrow y={{x}^{2}}.$
Suy ra $T={{\log }_{xy}}\dfrac{{{x}^{2}}+y}{2}={{\log }_{{{x}^{3}}}}{{x}^{2}}=\dfrac{2}{3}{{\log }_{x}}x=\dfrac{2}{3}.$
Đáp án B.