Xét các số thực $x,y$ sao cho $4 \log _3 a^{(\log , a-2...

$4{{\log }_{3}}{{a}^{(\log ,a-2x+2)}}-\left( {{y}^{2}}-25 \right){{\log }_{\sqrt{3}}}4\ge 0\Leftrightarrow 4({{\log }_{2}}a-2x+2){{\log }_{3}}a-4\left( {{y}^{2}}-25 \right){{\log }_{3}}2\ge 0$
$({{\log }_{2}}a-2x+2){{\log }_{2}}a-\left( {{y}^{2}}-25 \right)\ge 0.$
Đặt $t={{\log }_{2}}a$. Do $a>0$ nên $t\in \mathbb{R}.$
Ta được phương trình $(t-2x+2)t-\left( {{y}^{2}}-25 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2\left( x-1 \right)t+25-{{y}^{2}}\ge 0.$
Để bất phương trình ${{t}^{2}}-2\left( x-1 \right)t+25-{{y}^{2}}\ge 0$ luôn đúng với $\forall t\Rightarrow {\Delta }'\le 0\Rightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 25.$
$F={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-14y+51\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}=F-1\left( F>1 \right).$
Hình tròn $\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 25$ có tâm $I\left( 1;0 \right),BK\ R=5.$
Hình tròn $\left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}=F-1\left( F>1 \right).$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;7 \right),BK\ {{R}_{1}}=\sqrt{F-1}.$
Ta có $\overrightarrow{I{{I}_{1}}}=\left( 0;7 \right)\Rightarrow I{{I}_{1}}=7.$
Để tồn tại $x,y$ thì đường tròn và hình tròn phải có điểm chung diều kiện là
Hình tròn $\left| R-{{R}_{1}} \right|\le I{{I}_{1}}\le R+{{R}_{1}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{1}}\ge 2 \\
& {{R}_{1}}\le 12 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& F-1\ge 4 \\
& F-1\le 144 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 5\le F\le 145.$
Vậy có tối đa $141$ giá trị nguyên.