Google
Câu hỏi: Xét các số thực $x$, $y$ $\left( x\ge 0 \right)$ thỏa mãn
A. $m\in \left( 0;1 \right)$.
B. $m\in \left( 1;2 \right)$.
C. $m\in \left( 2;3 \right)$.
D. $m\in \left( -1;0 \right)$.
${{2018}^{x+3y}}+{{2018}^{xy+1}}+x+1={{2018}^{-xy-1}}+\dfrac{1}{{{2018}^{x+3y}}}-y\left( x+3 \right)$.
Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=x+2y$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?A. $m\in \left( 0;1 \right)$.
B. $m\in \left( 1;2 \right)$.
C. $m\in \left( 2;3 \right)$.
D. $m\in \left( -1;0 \right)$.
Ta có ${{2018}^{x+3y}}+{{2018}^{xy+1}}+x+1={{2018}^{-xy-1}}+\dfrac{1}{{{2018}^{x+3y}}}-y\left( x+3 \right)$
$\Leftrightarrow {{2018}^{x+3y}}-{{2018}^{-x-3y}}+x+3y={{2018}^{-xy-1}}-{{2018}^{xy+1}}-xy-1$
$\Leftrightarrow f\left( x+3y \right)=f\left( -xy-1 \right)$ $\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2018}^{t}}-{{2018}^{-t}}+t$, với $t\in \mathbb{R}$ ta có
${f}'\left( t \right)={{2018}^{t}}\ln 2018+{{2018}^{-t}}\ln 2018+1>0$, $\forall t\in \mathbb{R}$.
Do đó $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow x+3y=-xy-1$
$\Leftrightarrow y\left( x+3 \right)=-x-1$ $\Rightarrow y=-\dfrac{x+1}{x+3}$ $\Rightarrow T=x-\dfrac{2\left( x+1 \right)}{x+3}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=x-\dfrac{2\left( x+1 \right)}{x+3}$, với $x\in \left[ 0;+\infty \right)$ có
${f}'\left( x \right)=1-\dfrac{4}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{{{x}^{2}}+6x+5}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}>0$, $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Do đó $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$ $\Rightarrow f\left( x \right)\ge f\left( 0 \right)=-\dfrac{2}{3}$.
Dấu " $=$ " xảy ra $\Leftrightarrow x=0$ $\Rightarrow m=-\dfrac{2}{3}$.
$\Leftrightarrow {{2018}^{x+3y}}-{{2018}^{-x-3y}}+x+3y={{2018}^{-xy-1}}-{{2018}^{xy+1}}-xy-1$
$\Leftrightarrow f\left( x+3y \right)=f\left( -xy-1 \right)$ $\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2018}^{t}}-{{2018}^{-t}}+t$, với $t\in \mathbb{R}$ ta có
${f}'\left( t \right)={{2018}^{t}}\ln 2018+{{2018}^{-t}}\ln 2018+1>0$, $\forall t\in \mathbb{R}$.
Do đó $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow x+3y=-xy-1$
$\Leftrightarrow y\left( x+3 \right)=-x-1$ $\Rightarrow y=-\dfrac{x+1}{x+3}$ $\Rightarrow T=x-\dfrac{2\left( x+1 \right)}{x+3}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=x-\dfrac{2\left( x+1 \right)}{x+3}$, với $x\in \left[ 0;+\infty \right)$ có
${f}'\left( x \right)=1-\dfrac{4}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{{{x}^{2}}+6x+5}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}>0$, $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Do đó $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$ $\Rightarrow f\left( x \right)\ge f\left( 0 \right)=-\dfrac{2}{3}$.
Dấu " $=$ " xảy ra $\Leftrightarrow x=0$ $\Rightarrow m=-\dfrac{2}{3}$.
Đáp án D.