Xét các số thực không âm $x$ và $y$ thoả mãn...

Cách 1:
Có: $2x+y\text{lo}{\text{g}}_2(x+y+1)\ge 6\iff 2(x+y+1)+y[\text{lo}{\text{g}}_2(x+y+1)-2]\ge 8$.
Nếu $x+y+1<4$ thì $\text{lo}{\text{g}}_2(x+y+1)-2<0$ do đó $2(x+y+1)+y[\text{lo}{\text{g}}_2(x+y+1)-2]<8$.
Nếu $x+y+1\ge 4$ thì $\text{lo}{\text{g}}_2(x+y+1)-2\ge 0$ do đó $2(x+y+1)+y[\text{lo}{\text{g}}_2(x+y+1)-2]\ge 8$.
Vậy $2x+y\text{lo}{\text{g}}_2(x+y+1)\ge 6\iff x+y+1\ge 4$.
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của $P$, với điều kiện $x+y+1\ge 4$.
Ta có $x+y+1\ge 4\iff x+1\ge 4-y$. Xét hai trường hợp:
Nếu $x\ge 0,y\ge 4$, suy ra $P\ge {4.4}^2+8.4=96$.
Nếu $x\ge 0,y\le 4$, ta có $x+1\ge 4-y\iff x^2+2x\ge 15-8y+y^2$.
Suy ra $P=(x^2+2x)+4y^2+8y\ge 15-8y+y^2+4y^2+8y$ $\iff P\ge 5y^2+15\ge 15$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $15$ khi $x=3,y=0$.
Cách 2:
Đặt $2y=Y$
$2x+y\text{lo}{\text{g}}_2(x+y+1)\ge 6\iff 2(x+y+1)+y[\text{lo}{\text{g}}_2(x+y+1)-2]\ge 8$
Nếu $x+y+1<4$ thì $\text{lo}{\text{g}}_2(x+y+1)-2<0$ do đó $2(x+y+1)+y[\text{lo}{\text{g}}_2(x+y+1)-2]<8$
Nếu $x+y+1\ge 4$ thì $\text{lo}{\text{g}}_2(x+y+1)-2\ge 0$ do đó $2(x+y+1)+y[\text{lo}{\text{g}}_2(x+y+1)-2]\ge 8$
Vậy $x+y+1\ge 4\iff 2x+Y-6\ge 0$
$P=x^2+4y^2+2x+8y\iff x^2+Y^2+2x+4Y-P=0$
Để hệ $\{\begin{array}{rl}& 2x+Y-6\ge 0\\ & x^2+Y^2+2x+4Y-P=0(\ast )\end{array}$ có nghiệm không âm, thì đường tròn (*) có tâm $I(-1;-2)$ bán kính $R\ge IF=2\sqrt{5}$ $\iff \sqrt{5+P}\ge 2\sqrt{5}\iff P\ge 15$. Vậy $P_{min}=15$.