Xét các số thực không âm $x$ và $y$ thoả mãn...

Cách 1:
Có: $2x+y\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( x+y+1 \right)\ge 6\Leftrightarrow 2\left( x+y+1 \right)+y\left[ \text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( x+y+1 \right)-2 \right]\ge 8$.
Nếu $x+y+1<4$ thì $\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( x+y+1 \right)-2<0$ do đó $2\left( x+y+1 \right)+y\left[ \text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( x+y+1 \right)-2 \right]<8$.
Nếu $x+y+1\ge 4$ thì $\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( x+y+1 \right)-2\ge 0$ do đó $2\left( x+y+1 \right)+y\left[ \text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( x+y+1 \right)-2 \right]\ge 8$.
Vậy $2x+y\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( x+y+1 \right)\ge 6\Leftrightarrow x+y+1\ge 4$.
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của $P$, với điều kiện $x+y+1\ge 4$.
Ta có $x+y+1\ge 4\Leftrightarrow x+1\ge 4-y$. Xét hai trường hợp:
Nếu $x\ge 0,y\ge 4$, suy ra $P\ge {{4.4}^{2}}+8.4=96$.
Nếu $x\ge 0,y\le 4$, ta có $x+1\ge 4-y\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x\ge 15-8y+{{y}^{2}}$.
Suy ra $P=\left( {{x}^{2}}+2x \right)+4{{y}^{2}}+8y\ge 15-8y+{{y}^{2}}+4{{y}^{2}}+8y$ $\Leftrightarrow P\ge 5{{y}^{2}}+15\ge 15$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $15$ khi $x=3,y=0$.
Cách 2:
Đặt $2y=Y$
$2x+y\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( x+y+1 \right)\ge 6\Leftrightarrow 2\left( x+y+1 \right)+y\left[ \text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( x+y+1 \right)-2 \right]\ge 8$
Nếu $x+y+1<4$ thì $\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( x+y+1 \right)-2<0$ do đó $2\left( x+y+1 \right)+y\left[ \text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( x+y+1 \right)-2 \right]<8$
Nếu $x+y+1\ge 4$ thì $\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( x+y+1 \right)-2\ge 0$ do đó $2\left( x+y+1 \right)+y\left[ \text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( x+y+1 \right)-2 \right]\ge 8$
Vậy $x+y+1\ge 4\Leftrightarrow 2x+Y-6\ge 0$
$P={{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+2x+8y\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{Y}^{2}}+2x+4Y-P=0$
Để hệ $\left\{ \begin{aligned}
& 2x+Y-6\ge 0 \\
& {{x}^{2}}+{{Y}^{2}}+2x+4Y-P=0(*) \\
\end{aligned} \right. $ có nghiệm không âm, thì đường tròn (*) có tâm $ I(-1;-2) $ bán kính $ R\ge IF=2\sqrt{5} $ $ \Leftrightarrow \sqrt{5+P}\ge 2\sqrt{5}\Leftrightarrow P\ge 15 $. Vậy $ {{P}_{\min }}=15$.