Xét các số thực không âm $x$ và $y$ thỏa mãn...

Cách 1:
Nhận xét: Giá trị của $x,y$ thỏa mãn phương trình $2x+y\cdot {{4}^{x+y-1}}=3\left( 1 \right)$ sẽ làm cho biểu thức $P$ nhỏ nhất. Đặt $a=x+y$, từ $\left( 1 \right)$ ta được phương trình
Nhận thấy $y={{4}^{a-1}}+\dfrac{2}{y}.a-2-\dfrac{3}{y}$ là hàm số đồng biến theo biến $a$, nên phương trình trên có nghiệm duy nhất $a=\dfrac{3}{2}\Rightarrow x+y=\dfrac{3}{2}$.
Ta viết lại biểu thức $P={{\left( x+y \right)}^{2}}+4\left( x+y \right)+2\left( y-\dfrac{1}{4} \right)-\dfrac{1}{8}=\dfrac{65}{8}$. Vậy ${{P}_{\min }}=\dfrac{65}{8}$.
Cách 2:
Với mọi $x, y$ không âm ta có
$2x+y{{.4}^{x+y-1}}\ge 3\Leftrightarrow x+y{{.4}^{x+y-\dfrac{3}{2}}}\ge \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \left( x+y-\dfrac{3}{2} \right)+y.\left( {{4}^{x+y-\dfrac{3}{2}}}-1 \right)\ge 0$ (1)
Nếu $x+y-\dfrac{3}{2}<0$ thì $\left( x+y-\dfrac{3}{2} \right)+y.\left( {{4}^{x+y-\dfrac{3}{2}}}-1 \right)<0+y.\left( {{4}^{0}}-1 \right)=0$ (vô lí)
Vậy $x+y\ge \dfrac{3}{2}$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhyakovski ta được
$P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+6y={{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}-13$ $\ge \dfrac{1}{2}{{\left( x+y+5 \right)}^{2}}-13\ge \dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{3}{2}+5 \right)}^{2}}-13=\dfrac{65}{8}$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& x+y=\dfrac{3}{2} \\
& x+3=y+2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=\dfrac{5}{4} \\
& x=\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ \min P=\dfrac{65}{8}$.