Google
Câu hỏi: Xét các số thực không âm $x$ và $y$ thỏa mãn ${{2}^{8x+{{2}^{x+1}}+1}}-{{4}^{3x-y+{{2}^{x}}+2}}+2x+2y-3\ge 0.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x+4y$ gần nhất với số nào dưới đây?
A. 6
B. 7
C. 9
D. 8
A. 6
B. 7
C. 9
D. 8
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.
Cách giải:
Ta có:
${{2}^{8x+{{2}^{x+1}}+1}}-{{4}^{3x-y+{{2}^{x}}+2}}+2x+2y-3\ge 0$
$\Leftrightarrow {{2}^{8x+{{2}^{x+1}}+1}}-{{2}^{6x-2y+{{2}^{x+1}}+4}}+2x+2y-3\ge 0$
$\Leftrightarrow {{2}^{8x+{{2}^{x+1}}+1}}+8x+{{2}^{x+1}}+1\ge {{2}^{6x-2y+{{2}^{x+1}}+4}}+6x-2y+{{2}^{x+1}}+4\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ ta có $f'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0\forall t\in \mathbb{R},$ suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Do đó
$\left( * \right)\Leftrightarrow 8x+{{2}^{x+1}}+1\ge 6x-2y+{{2}^{x+1}}+4$
$\Leftrightarrow 2x+2y-3\ge 0\Leftrightarrow y\ge \dfrac{3-2x}{2}$
Khi đó ta có
$P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x+4y$
$\Leftrightarrow P\ge {{x}^{2}}+{{\left( \dfrac{3-2x}{2} \right)}^{2}}+6x+4.\dfrac{3-2x}{2}$
$\Leftrightarrow P\ge {{x}^{2}}+\dfrac{4{{x}^{2}}-12x+9}{4}+6x+6-4x$
$\Leftrightarrow P\ge 2{{x}^{2}}-x+\dfrac{33}{4}$
$\Leftrightarrow P\ge 2\left( {{x}^{2}}-2x.\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16} \right)+\dfrac{65}{8}$
$\Leftrightarrow P\ge 2{{\left( x-\dfrac{1}{4} \right)}^{2}}+\dfrac{65}{8}\ge \dfrac{65}{8}=8,125$
${{P}_{\min }}=8,125\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}.$
Sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.
Cách giải:
Ta có:
${{2}^{8x+{{2}^{x+1}}+1}}-{{4}^{3x-y+{{2}^{x}}+2}}+2x+2y-3\ge 0$
$\Leftrightarrow {{2}^{8x+{{2}^{x+1}}+1}}-{{2}^{6x-2y+{{2}^{x+1}}+4}}+2x+2y-3\ge 0$
$\Leftrightarrow {{2}^{8x+{{2}^{x+1}}+1}}+8x+{{2}^{x+1}}+1\ge {{2}^{6x-2y+{{2}^{x+1}}+4}}+6x-2y+{{2}^{x+1}}+4\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ ta có $f'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0\forall t\in \mathbb{R},$ suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Do đó
$\left( * \right)\Leftrightarrow 8x+{{2}^{x+1}}+1\ge 6x-2y+{{2}^{x+1}}+4$
$\Leftrightarrow 2x+2y-3\ge 0\Leftrightarrow y\ge \dfrac{3-2x}{2}$
Khi đó ta có
$P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x+4y$
$\Leftrightarrow P\ge {{x}^{2}}+{{\left( \dfrac{3-2x}{2} \right)}^{2}}+6x+4.\dfrac{3-2x}{2}$
$\Leftrightarrow P\ge {{x}^{2}}+\dfrac{4{{x}^{2}}-12x+9}{4}+6x+6-4x$
$\Leftrightarrow P\ge 2{{x}^{2}}-x+\dfrac{33}{4}$
$\Leftrightarrow P\ge 2\left( {{x}^{2}}-2x.\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16} \right)+\dfrac{65}{8}$
$\Leftrightarrow P\ge 2{{\left( x-\dfrac{1}{4} \right)}^{2}}+\dfrac{65}{8}\ge \dfrac{65}{8}=8,125$
${{P}_{\min }}=8,125\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}.$
Đáp án D.