Google
Câu hỏi: Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${{2020}^{{{x}^{2}}-y+1}}=\sqrt{\dfrac{2x+y}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=4x-y.$
A. 3.
B. 4.
C. 6.
D. 5.
A. 3.
B. 4.
C. 6.
D. 5.
Ta có ${{2020}^{2\left( {{x}^{2}}-y+1 \right)}}=\dfrac{2x+y}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow 2\left( {{x}^{2}}-y+1 \right)={{\log }_{2020}}\dfrac{2x+y}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$
$\Rightarrow 2{{\left( x+1 \right)}^{2}}-2\left( 2x+y \right)={{\log }_{2020}}\left( 2x+y \right)-{{\log }_{2020}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}$
$\Rightarrow 2{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\log }_{2020}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}=2\left( 2x+y \right)+{{\log }_{2020}}\left( 2x+y \right)\Leftrightarrow f\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}} \right]=f\left( 2x+y \right)\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=2t+{{\log }_{2010}}t$, với $t>0$ ta có ${f}'\left( t \right)=2+\dfrac{1}{t.\ln 2020}>0,\forall t>0$
$f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}=2x+y\Leftrightarrow y={{x}^{2}}+1$
$\Rightarrow P=4x-y=4x-\left( {{x}^{2}}+1 \right)=-{{\left( x-2 \right)}^{2}}+3\le 3$, dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=5$.
$\Rightarrow 2{{\left( x+1 \right)}^{2}}-2\left( 2x+y \right)={{\log }_{2020}}\left( 2x+y \right)-{{\log }_{2020}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}$
$\Rightarrow 2{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\log }_{2020}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}=2\left( 2x+y \right)+{{\log }_{2020}}\left( 2x+y \right)\Leftrightarrow f\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}} \right]=f\left( 2x+y \right)\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=2t+{{\log }_{2010}}t$, với $t>0$ ta có ${f}'\left( t \right)=2+\dfrac{1}{t.\ln 2020}>0,\forall t>0$
$f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}=2x+y\Leftrightarrow y={{x}^{2}}+1$
$\Rightarrow P=4x-y=4x-\left( {{x}^{2}}+1 \right)=-{{\left( x-2 \right)}^{2}}+3\le 3$, dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=5$.
Đáp án A.