Xét các số thực dương x, y thoả mãn ${{\log...

Với $x,y>0$, để ${{\log }_{3}}\dfrac{1-y}{x+3xy}$ xác định thì ta cần thêm điều kiện $y<1.$
Khi đó: ${{\log }_{3}}\dfrac{1-y}{x+3xy}=3xy+x+3y-4$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 1-y \right)-{{\log }_{3}}\left( x+3xy \right)=3xy+x+3y-3-1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 1-y \right)+1+3-3y={{\log }_{3}}\left( x+3xy \right)+x+3xy$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 3-3y \right)+3-3y={{\log }_{3}}\left( x+3xy \right)+x+3xy \left( * \right)$
Hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Do đó (*) $3-3y=x+3xy\Leftrightarrow x+3xy+3y-3=0 (**)$
Ta coi P là một tham số; $P=x+y\Leftrightarrow x=P-y.$
Thay vào (**): $P-y+3\left( P-y \right)y+3y-3=0\Leftrightarrow P(3y+1)=3{{y}^{2}}-2y+3$
$\Leftrightarrow P=\dfrac{3{{y}^{2}}-2y+3}{3y+1}$ (do $0<y<1$ nên $3y+1\ne 0$ ).
Xét hàm số $g\left( y \right)=\dfrac{3{{y}^{2}}-2y+3}{3y+1}$ với $y\in \left( 0;1 \right)$ có $g'\left( y \right)=1-\dfrac{12}{{{\left( 3y+1 \right)}^{2}}}.$
$g'\left( y \right)=0\Rightarrow y=\dfrac{-1+2\sqrt{3}}{3}\in \left( 0;1 \right).$
Ta có $g\left( 0 \right)=3; g\left( 1 \right)=1\Rightarrow g\left( \dfrac{-1+2\sqrt{3}}{3} \right)=\dfrac{4\sqrt{3}-4}{3}<1.$
Vậy $\underset{\left( 0;1 \right)}{\mathop{\min }} g\left( y \right)=\dfrac{4\sqrt{3}-4}{3}\Rightarrow {{P}_{\min }}=\dfrac{4\sqrt{3}-4}{3}.$