Xét các số thực dương $x, y$ thỏa mãn $\dfrac{1}{2}{{\log...

$\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}\dfrac{x}{4}+{{\log }_{2}}y=\dfrac{4-x{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {{\log }_{2}}x-{{\log }_{2}}4 \right)+{{\log }_{2}}y=\dfrac{4}{{{y}^{2}}}-x$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x-2+2{{\log }_{2}}y=\dfrac{8}{{{y}^{2}}}-2x$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x+2x=2-2{{\log }_{2}}y+\dfrac{8}{{{y}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x+2x={{\log }_{2}}\dfrac{4}{{{y}^{2}}}+2\left( \dfrac{4}{{{y}^{2}}} \right)$ $\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+2t$ với $t>0$
${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+2>0$ với mọi $t>0$ nên $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left( \dfrac{4}{{{y}^{2}}} \right)\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{{{y}^{2}}}$.
Khi đó $x+4y=\dfrac{4}{{{y}^{2}}}+2y+2y\ge 3\sqrt[3]{16}$.
Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{4}{{{y}^{2}}}=2y \\
& x=\dfrac{4}{{{y}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=\sqrt[3]{2} \\
& x=\sqrt[3]{{{4}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy khi $x+4y$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\dfrac{x}{y}=\dfrac{\sqrt[3]{{{4}^{2}}}}{\sqrt[3]{2}}=2$.