Xét các số thực dương $x, y$ thỏa mãn $\dfrac{1}{2}{{\log...

The Funny · 25/5/23

Câu hỏi: Xét các số thực dương

x, y

thỏa mãn

\frac{1}{2} \log_{2} \frac{x}{4} + \log_{2} y = \frac{4 - x y^{2}}{y^{2}}

. Khi

x + 4 y

đạt giá trị nhỏ nhất. giá trị

\frac{x}{y}

bằng
A.

\frac{\sqrt{2}}{2}

.
B.

\frac{1}{2}

.
C.

\sqrt{2}

.
D.

2

.

\frac{1}{2} \log_{2} \frac{x}{4} + \log_{2} y = \frac{4 - x y^{2}}{y^{2}}

\Leftrightarrow \frac{1}{2} (\log_{2} x - \log_{2} 4) + \log_{2} y = \frac{4}{y^{2}} - x

\Leftrightarrow \log_{2} x - 2 + 2 \log_{2} y = \frac{8}{y^{2}} - 2 x

\Leftrightarrow \log_{2} x + 2 x = 2 - 2 \log_{2} y + \frac{8}{y^{2}}

\Leftrightarrow \log_{2} x + 2 x = \log_{2} \frac{4}{y^{2}} + 2 (\frac{4}{y^{2}})

(*)

Xét hàm số

f (t) = \log_{2} t + 2 t

với

t > 0

f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 2} + 2 > 0

với mọi

t > 0

nên

f (t)

đồng biến trên khoảng

(0; + \infty)

.
Do đó

(*) \Leftrightarrow f (x) = f (\frac{4}{y^{2}}) \Leftrightarrow x = \frac{4}{y^{2}}

.
Khi đó

x + 4 y = \frac{4}{y^{2}} + 2 y + 2 y \geq 3 \sqrt[3]{16}

.
Dấu

^{″} =^{″}

xảy ra

\Leftrightarrow {\begin{aligned} \frac{4}{y^{2}} = 2 y \\ x = \frac{4}{y^{2}} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} y = \sqrt[3]{2} \\ x = \sqrt[3]{4^{2}} \end{aligned}

.
Vậy khi

x + 4 y

đạt giá trị nhỏ nhất thì

\frac{x}{y} = \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{\sqrt[3]{2}} = 2

.

Đáp án D.

Xét các số thực dương x,y thỏa mãn $\dfrac{1}{2}{{\log...