Xét các số thực dương $x, y$ thỏa mãn $2\left(...

$2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4 \right)+{{\log }_{2022}}\left( \dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y} \right)=\dfrac{1}{2}{{\left( xy-4 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\left( 2x+2y \right)}^{2}}+{{\log }_{2022}}{{\left( 2x+2y \right)}^{2}}={{\left( xy \right)}^{2}}+2{{\log }_{2022}}{{\left( xy \right)}^{2}} \left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow f\left( {{\left( 2x+2y \right)}^{2}} \right)=f\left( {{\left( xy \right)}^{2}} \right)$, với $f\left( t \right)=t+{{\log }_{2022}}t$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$
Vậy $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( 2x+2y \right)}^{2}}={{\left( xy \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow 2x+2y=xy$ $\Leftrightarrow y=\dfrac{2x}{x-2} \left( 2 \right)$ $\left( x>2 do x, y>0 \right)$
Thay $\left( 2 \right)$ vào $P=x+4y$ ta được:
$P=x+\dfrac{8x}{x-2}=\left( x-2 \right)+\dfrac{16}{x-2}+10\overset{AM-GM}{\mathop{\ge }} 2\sqrt{\left( x-2 \right)\dfrac{16}{x-2}}+10=18$.
$P=18$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-2=\dfrac{16}{x-2} \\
& y=\dfrac{2x}{x-2} \\
& x, y>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=6 \\
& y=3 \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ \dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{2}$.