Google
Câu hỏi: Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn $a>1,b>1$ và ${{a}^{x-1}}={{b}^{y}}=\sqrt[3]{ab}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=3\text{x}+4y$ thuộc tập hợp nào dưới đây?
A. $\left( 11;13 \right)$
B. $\left( 1;2 \right)$
C. $\left( 7;9 \right]$
D. $\left[ 5;7 \right)$
A. $\left( 11;13 \right)$
B. $\left( 1;2 \right)$
C. $\left( 7;9 \right]$
D. $\left[ 5;7 \right)$
Từ giả thiết ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{x-1}}=\sqrt[3]{ab} \\
& {{b}^{y}}=\sqrt[3]{ab} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-1=\dfrac{1}{3}\left( 1+{{\log }_{a}}b \right) \\
& y=\dfrac{1}{3}\left( 1+{{\log }_{b}}a \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}{{\log }_{a}}b \\
& y=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}{{\log }_{b}}a \\
\end{aligned} \right.$
Vì $a>1,b>1$ nên ${{\log }_{a}}b>0;{{\log }_{b}}a>0$. Khi đó ta có:
$P=3\text{x}+4y=\dfrac{16}{3}+{{\log }_{a}}b+\dfrac{4}{3}{{\log }_{b}}a\ge \dfrac{16}{3}+2\sqrt{{{\log }_{a}}b.\dfrac{4}{3}.{{\log }_{b}}a}=\dfrac{16}{3}+\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\approx 7,64\in \left( 7;9 \right]$.
& {{a}^{x-1}}=\sqrt[3]{ab} \\
& {{b}^{y}}=\sqrt[3]{ab} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-1=\dfrac{1}{3}\left( 1+{{\log }_{a}}b \right) \\
& y=\dfrac{1}{3}\left( 1+{{\log }_{b}}a \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}{{\log }_{a}}b \\
& y=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}{{\log }_{b}}a \\
\end{aligned} \right.$
Vì $a>1,b>1$ nên ${{\log }_{a}}b>0;{{\log }_{b}}a>0$. Khi đó ta có:
$P=3\text{x}+4y=\dfrac{16}{3}+{{\log }_{a}}b+\dfrac{4}{3}{{\log }_{b}}a\ge \dfrac{16}{3}+2\sqrt{{{\log }_{a}}b.\dfrac{4}{3}.{{\log }_{b}}a}=\dfrac{16}{3}+\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\approx 7,64\in \left( 7;9 \right]$.
Đáp án C.