Google
Câu hỏi: Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn $a>1,b>1$ và ${{a}^{x-3y}}={{b}^{x+3y}}=\sqrt[3]{ab}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=3x+6y-1$ bằng
A. $\dfrac{3}{4}$
B. $\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
C. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
D. $\dfrac{5}{3}$
A. $\dfrac{3}{4}$
B. $\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
C. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
D. $\dfrac{5}{3}$
Ta có ${{a}^{x-3y}}={{b}^{x+3y}}=\sqrt[3]{ab}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-3y={{\log }_{a}}\sqrt[3]{ab} \\
& x+3y={{\log }_{b}}\sqrt[3]{ab} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-3y=\dfrac{1}{3}\left( 1+{{\log }_{a}}b \right) \\
& x+3y=\dfrac{1}{3}\left( 1+{{\log }_{b}}a \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $t={{\log }_{a}}b>0$ nên $P=\dfrac{1}{2}.\left( x-3y \right)+\dfrac{5}{2}.\left( x+3y \right)-1=\dfrac{1}{6}+\dfrac{t}{6}+\dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{6t}-1=\dfrac{1}{6}.\left( t+\dfrac{5}{t} \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta được $t+\dfrac{5}{t}\ge 2\sqrt{t.\dfrac{5}{t}}=2\sqrt{5}\Rightarrow P\ge \dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
& x-3y={{\log }_{a}}\sqrt[3]{ab} \\
& x+3y={{\log }_{b}}\sqrt[3]{ab} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-3y=\dfrac{1}{3}\left( 1+{{\log }_{a}}b \right) \\
& x+3y=\dfrac{1}{3}\left( 1+{{\log }_{b}}a \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $t={{\log }_{a}}b>0$ nên $P=\dfrac{1}{2}.\left( x-3y \right)+\dfrac{5}{2}.\left( x+3y \right)-1=\dfrac{1}{6}+\dfrac{t}{6}+\dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{6t}-1=\dfrac{1}{6}.\left( t+\dfrac{5}{t} \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta được $t+\dfrac{5}{t}\ge 2\sqrt{t.\dfrac{5}{t}}=2\sqrt{5}\Rightarrow P\ge \dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
Đáp án C.