Google
Câu hỏi: Xét các số thực dương a, b thỏa mãn ${{\log }_{2}}\dfrac{1-ab}{a+b}=2ab+a+b-3$. Giá trị nhỏ nhất ${{P}_{\min }}$ của $P=a+2b$ là
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{2\sqrt{10}-3}{2}$
B. ${{P}_{\min }}=\dfrac{2\sqrt{10}-5}{2}$
C. ${{P}_{\min }}=\dfrac{3\sqrt{10}-7}{2}$
D. ${{P}_{\min }}=\dfrac{2\sqrt{10}-1}{2}$
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{2\sqrt{10}-3}{2}$
B. ${{P}_{\min }}=\dfrac{2\sqrt{10}-5}{2}$
C. ${{P}_{\min }}=\dfrac{3\sqrt{10}-7}{2}$
D. ${{P}_{\min }}=\dfrac{2\sqrt{10}-1}{2}$
Điều kiện: $ab<1$
Ta có:
${{\log }_{2}}\dfrac{1-ab}{a+b}=2ab+a+b-3\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ 2\left( 1-ab \right) \right]+2\left( 1-ab \right)={{\log }_{2}}\left( a+b \right)+\left( a+b \right)\left( * \right)$
Xét hàm số $y=f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 2}+1>0,\forall t>0$. Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Do đó, $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left[ 2\left( 1-ab \right) \right]=f\left( a+b \right)\Leftrightarrow 2\left( 1-ab \right)=a+b\Leftrightarrow a\left( 2b+1 \right)=2-b$
$\Leftrightarrow a=\dfrac{-b+2}{2b+1}$
$P=a+2b=\dfrac{-b+2}{2b+1}+2b=g\left( b \right)$
${g}'\left( b \right)=\dfrac{-5}{{{\left( 2b+1 \right)}^{2}}}+2=0\Leftrightarrow {{\left( 2b+1 \right)}^{2}}=\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow 2b+1=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow b=\dfrac{\sqrt{10}-2}{4}$ (vì $b>0$ )
Lập bảng biến thiên ta được ${{P}_{\min }}=g\left( \dfrac{\sqrt{10}-2}{4} \right)=\dfrac{2\sqrt{10}-3}{2}$
Ta có:
${{\log }_{2}}\dfrac{1-ab}{a+b}=2ab+a+b-3\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ 2\left( 1-ab \right) \right]+2\left( 1-ab \right)={{\log }_{2}}\left( a+b \right)+\left( a+b \right)\left( * \right)$
Xét hàm số $y=f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 2}+1>0,\forall t>0$. Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Do đó, $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left[ 2\left( 1-ab \right) \right]=f\left( a+b \right)\Leftrightarrow 2\left( 1-ab \right)=a+b\Leftrightarrow a\left( 2b+1 \right)=2-b$
$\Leftrightarrow a=\dfrac{-b+2}{2b+1}$
$P=a+2b=\dfrac{-b+2}{2b+1}+2b=g\left( b \right)$
${g}'\left( b \right)=\dfrac{-5}{{{\left( 2b+1 \right)}^{2}}}+2=0\Leftrightarrow {{\left( 2b+1 \right)}^{2}}=\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow 2b+1=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow b=\dfrac{\sqrt{10}-2}{4}$ (vì $b>0$ )
Lập bảng biến thiên ta được ${{P}_{\min }}=g\left( \dfrac{\sqrt{10}-2}{4} \right)=\dfrac{2\sqrt{10}-3}{2}$
Đáp án A.