Google
Câu hỏi: Xét các số thực dương $a$, $b$ thoả mãn ${{\log }_{2}}\left( a+b \right)={{\log }_{3}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$. Khi đó ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}$ có thể nhận nhiều nhất bao nhiêu giá trị nguyên?
A. $36$.
B. $35$.
C. $37$.
D. $38$.
A. $36$.
B. $35$.
C. $37$.
D. $38$.
Đặt ${{\log }_{2}}\left( a+b \right)={{\log }_{3}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=x\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b={{2}^{x}} \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{3}^{x}} \\
\end{aligned} \right.$.
Vì ${{\left( a+b \right)}^{2}}\le 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\Leftrightarrow x\le {{\log }_{\dfrac{4}{3}}}2$.
Ta có ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right)=-\dfrac{1}{2}{{8}^{x}}+\dfrac{3}{2}{{6}^{x}}=f(x)$
Lập bảng biến thiên của $f(x)$ ta suy ra hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;{{\log }_{\dfrac{4}{3}}}2 \right]$
Suy ra $0<{{a}^{3}}+{{b}^{3}}=f(x)\le f\left( {{\log }_{\dfrac{4}{3}}}2 \right)\approx 37,48$.
& a+b={{2}^{x}} \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{3}^{x}} \\
\end{aligned} \right.$.
Vì ${{\left( a+b \right)}^{2}}\le 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\Leftrightarrow x\le {{\log }_{\dfrac{4}{3}}}2$.
Ta có ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right)=-\dfrac{1}{2}{{8}^{x}}+\dfrac{3}{2}{{6}^{x}}=f(x)$
Lập bảng biến thiên của $f(x)$ ta suy ra hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;{{\log }_{\dfrac{4}{3}}}2 \right]$
Suy ra $0<{{a}^{3}}+{{b}^{3}}=f(x)\le f\left( {{\log }_{\dfrac{4}{3}}}2 \right)\approx 37,48$.
Đáp án C.