Xét các số thực $a, b$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{3} < b < a < 1$ . Tìm...

The Knowledge · 21/12/21

Câu hỏi: Xét các số thực

a, b

thỏa mãn điều kiện

\frac{1}{3} < b < a < 1

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = \log_{a} (\frac{3 b - 1}{4}) + 12 \log_{\frac{b}{a}}^{2} a - 3.

A. 13.
B.

\frac{1}{\sqrt[3]{2}} .

C. 9.
D.

\sqrt[3]{2} .

Ta có

\frac{3 b - 1}{4} \leq b^{3} \Leftrightarrow 4 b^{3} - 3 b + 1 \geq 0 \Leftrightarrow (b + 1) (4 b^{2} - 4 b + 1) \geq 0

\Leftrightarrow (b + 1) {(2 b - 1)}^{2} \geq 0

luôn đúng với

\frac{1}{3} < b < 1.

\Rightarrow \log_{a} (\frac{3 b - 1}{4}) \geq \log_{a} b^{3}

(vì

a < 1

)

\Rightarrow \log_{a} (\frac{3 b - 1}{4}) \geq 3 \log_{a} b

.
Biến đổi

\log_{\frac{b}{a}} a = \frac{1}{\log_{a} \frac{b}{a}} = \frac{1}{\log_{a} b - 1}

\Rightarrow P \geq 3 \log_{a} b + \frac{12}{{(\log_{a} b - 1)}^{2}} - 3 = 3 (\log_{a} b - 1) + \frac{12}{{(\log_{a} b - 1)}^{2}}

.
Bài ra

\frac{1}{3} < b < a < 1 \Rightarrow \log_{a} b > 1

.
Đặt

t = \log_{a} b - 1 > 0 \Rightarrow P \geq 3 t + \frac{12}{t^{2}} = \frac{3 t}{2} + \frac{3 t}{2} + \frac{12}{t^{2}} \geq 3. \sqrt{\frac{3 t}{2} . \frac{3 t}{2} . \frac{12}{t^{2}}} = 9

.
Dấu "=" xảy ra

{\begin{aligned} b = \frac{1}{2} \\ \frac{3 t}{2} = \frac{12}{t^{2}} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} b = \frac{1}{2} \\ t = 2 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} b = \frac{1}{2} \\ b = a^{3} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} b = \frac{1}{2} \\ a = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{aligned}

.

Đáp án C.

Xét các số thực a,b thỏa mãn điều kiện 13<b<a<1. Tìm...