Xét các số thực a, b thỏa mãn $a>b>1$. Giá trị nhỏ nhất...

Ý tưởng: Biến đổi tất cả các đại lượng theo ${{\log }_{\dfrac{a}{b}}}b$ để đặt ẩn phụ
Với điều kiện đề bài, ta có:
$P=\log _{\dfrac{a}{b}}^{2}\left( {{a}^{2}} \right)+3{{\log }_{b}}\left( \dfrac{a}{b} \right)={{\left[ 2{{\log }_{\dfrac{a}{b}}}a \right]}^{2}}+3{{\log }_{b}}\left( \dfrac{a}{b} \right)=4{{\left[ {{\log }_{\dfrac{a}{b}}}\left( \dfrac{a}{b}.b \right) \right]}^{2}}+3{{\log }_{b}}\left( \dfrac{a}{b} \right)$
$=4{{\left[ 1+{{\log }_{\dfrac{a}{b}}}b \right]}^{2}}+3{{\log }_{b}}\left( \dfrac{a}{b} \right)$. Đặt $t={{\log }_{\dfrac{a}{b}}}b>0$ (vì $a>b>1$ ), ta có:
$P=4{{\left( 1+t \right)}^{2}}+\dfrac{3}{t}=4{{t}^{2}}+8t+\dfrac{3}{t}+4=f\left( t \right)$
Ta có: $f'\left( t \right)=8t+8-\dfrac{3}{{{t}^{2}}}=\dfrac{8{{t}^{3}}+8{{t}^{2}}-3}{{{t}^{2}}}=\dfrac{\left( 2t-1 \right)\left( 4{{t}^{2}}+6t+3 \right)}{{{t}^{2}}}$
Vậy $f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}$. Khảo sát hàm số, ta có ${{P}_{\min }}=f\left( \dfrac{1}{2} \right)=15$
Chú ý:
Có thể biến đổi ${{\log }_{\dfrac{a}{b}}}b=\dfrac{1}{{{\log }_{b}}\dfrac{a}{b}}=\dfrac{1}{1-{{\log }_{b}}a}$ sau đó đặt $t={{\log }_{b}}a$