Xét các số phức $z,w,u$ thỏa mãn $\left| z \right|=1, \left| w...

Cách 1:
Bổ đề:
Xét hai số phức $z_1$ và $z_2$, ta có:
${|z_1+z_2|}^2=(z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})={\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2+z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}{z}_2$
${|z_1-z_2|}^2=(z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2})={\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2-z_1\overline{z_2}-\overline{z_1}{z}_2$
$|z_1+z_2|=|z_1-z_2|\iff z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}{z}_2=0$
Áp dụng bổ đề trên:
$|z+w-u|=|u+z-w|\iff |z+(w-u)|=|z-(w-u)|\iff z\overline{(w-u)}+\bar{z}(w-u)=0$
$\iff z\bar{w}+\bar{z}w-z\bar{u}-\bar{z}u=0$ $\iff {\left|z\right|}^2+z\bar{w}+\bar{z}w+{\left|w\right|}^2+{\left|z\right|}^2-z\bar{u}-\bar{z}u+{\left|u\right|}^2-2{\left|z\right|}^2-{\left|w\right|}^2-{\left|u\right|}^2=0$
$\iff {|z+w|}^2+{|z-u|}^2-2{\left|z\right|}^2-{\left|w\right|}^2-{\left|u\right|}^2=0\iff {|z-u|}^2=15-{|z+w|}^2$.
Ta có ${|z-u|}^2=15-{|z+w|}^2\le 15-{|\left|z\right|-\left|w\right||}^2=14\Rightarrow |z-u|\le \sqrt{14}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $w=-2z$.
Cách 2:
Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là biểu diễn của các số phức $z$, $w$, $u$. Khi đó:
$OM=1$, $ON=2$, $OP=4$ và $|\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{NP}|=|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{NP}|$.
Ta có $|\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{NP}|=|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{NP}|\iff O{M}^2+2\overrightarrow{OM}\overrightarrow{NP}+N{P}^2=O{M}^2-2\overrightarrow{OM}\overrightarrow{NP}+N{P}^2$
$\iff \overrightarrow{OM}\overrightarrow{NP}=0\iff \overrightarrow{OM}(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{ON})=0\iff \overrightarrow{OM}\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}\overrightarrow{ON}$
$\iff O{M}^2+O{P}^2-M{P}^2=O{M}^2+O{N}^2-M{N}^2\iff M{P}^2=M{N}^2+5\le {(OM+ON)}^2+\le 14$.
$\Rightarrow$ $|z-u|=MP\le \sqrt{14}$.
Đẳng thức xảy ra khi $O$, $M$, $N$ thẳng hàng và $O$ nằm giữa $M$, $N$.