Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z,w,u$ thỏa mãn $\left| z \right|=1, \left| w \right|=2, \left| u \right|=3$ và $\left| z+w-u \right|=\left| u+z-w \right|$. Giá trị lớn nhất của $\left| z-u \right|$ bằng
A. $\sqrt{10}$.
B. $2\sqrt{3}$.
C. $\sqrt{14}$.
D. 4.
A. $\sqrt{10}$.
B. $2\sqrt{3}$.
C. $\sqrt{14}$.
D. 4.
Cách 1:
Bổ đề:
Xét hai số phức ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$, ta có:
${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\left( \overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}} \right)={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}$
${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( \overline{{{z}_{1}}}-\overline{{{z}_{2}}} \right)={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-{{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}-\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}$
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}=0$
Áp dụng bổ đề trên:
$\left| z+w-u \right|=\left| u+z-w \right|\Leftrightarrow \left| z+\left( w-u \right) \right|=\left| z-\left( w-u \right) \right|\Leftrightarrow z\overline{\left( w-u \right)}+\overline{z}\left( w-u \right)=0$
$\Leftrightarrow z\overline{w}+\overline{z}w-z\overline{u}-\overline{z}u=0$ $\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}+z\overline{w}+\overline{z}w+{{\left| w \right|}^{2}}+{{\left| z \right|}^{2}}-z\overline{u}-\overline{z}u+{{\left| u \right|}^{2}}-2{{\left| z \right|}^{2}}-{{\left| w \right|}^{2}}-{{\left| u \right|}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow {{\left| z+w \right|}^{2}}+{{\left| z-u \right|}^{2}}-2{{\left| z \right|}^{2}}-{{\left| w \right|}^{2}}-{{\left| u \right|}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left| z-u \right|}^{2}}=15-{{\left| z+w \right|}^{2}}$.
Ta có ${{\left| z-u \right|}^{2}}=15-{{\left| z+w \right|}^{2}}\le 15-{{\left| \left| z \right|-\left| w \right| \right|}^{2}}=14\Rightarrow \left| z-u \right|\le \sqrt{14}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $w=-2z$.
Cách 2:
Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là biểu diễn của các số phức $z$, $w$, $u$. Khi đó:
$OM=1$, $ON=2$, $OP=4$ và $\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{NP} \right|=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{NP} \right|$.
Ta có $\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{NP} \right|=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{NP} \right|\Leftrightarrow O{{M}^{2}}+2\overrightarrow{OM}\overrightarrow{NP}+N{{P}^{2}}=O{{M}^{2}}-2\overrightarrow{OM}\overrightarrow{NP}+N{{P}^{2}}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}\overrightarrow{NP}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}\left( \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{ON} \right)=0\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}\overrightarrow{ON}$
$\Leftrightarrow O{{M}^{2}}+O{{P}^{2}}-M{{P}^{2}}=O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}\Leftrightarrow M{{P}^{2}}=M{{N}^{2}}+5\le {{\left( OM+ON \right)}^{2}}+\le 14$.
$\Rightarrow $ $\left| z-u \right|=MP\le \sqrt{14}$.
Đẳng thức xảy ra khi $O$, $M$, $N$ thẳng hàng và $O$ nằm giữa $M$, $N$.
Bổ đề:
Xét hai số phức ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$, ta có:
${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\left( \overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}} \right)={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}$
${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( \overline{{{z}_{1}}}-\overline{{{z}_{2}}} \right)={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-{{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}-\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}$
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}=0$
Áp dụng bổ đề trên:
$\left| z+w-u \right|=\left| u+z-w \right|\Leftrightarrow \left| z+\left( w-u \right) \right|=\left| z-\left( w-u \right) \right|\Leftrightarrow z\overline{\left( w-u \right)}+\overline{z}\left( w-u \right)=0$
$\Leftrightarrow z\overline{w}+\overline{z}w-z\overline{u}-\overline{z}u=0$ $\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}+z\overline{w}+\overline{z}w+{{\left| w \right|}^{2}}+{{\left| z \right|}^{2}}-z\overline{u}-\overline{z}u+{{\left| u \right|}^{2}}-2{{\left| z \right|}^{2}}-{{\left| w \right|}^{2}}-{{\left| u \right|}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow {{\left| z+w \right|}^{2}}+{{\left| z-u \right|}^{2}}-2{{\left| z \right|}^{2}}-{{\left| w \right|}^{2}}-{{\left| u \right|}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left| z-u \right|}^{2}}=15-{{\left| z+w \right|}^{2}}$.
Ta có ${{\left| z-u \right|}^{2}}=15-{{\left| z+w \right|}^{2}}\le 15-{{\left| \left| z \right|-\left| w \right| \right|}^{2}}=14\Rightarrow \left| z-u \right|\le \sqrt{14}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $w=-2z$.
Cách 2:
Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là biểu diễn của các số phức $z$, $w$, $u$. Khi đó:
$OM=1$, $ON=2$, $OP=4$ và $\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{NP} \right|=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{NP} \right|$.
Ta có $\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{NP} \right|=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{NP} \right|\Leftrightarrow O{{M}^{2}}+2\overrightarrow{OM}\overrightarrow{NP}+N{{P}^{2}}=O{{M}^{2}}-2\overrightarrow{OM}\overrightarrow{NP}+N{{P}^{2}}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}\overrightarrow{NP}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}\left( \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{ON} \right)=0\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}\overrightarrow{ON}$
$\Leftrightarrow O{{M}^{2}}+O{{P}^{2}}-M{{P}^{2}}=O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}\Leftrightarrow M{{P}^{2}}=M{{N}^{2}}+5\le {{\left( OM+ON \right)}^{2}}+\le 14$.
$\Rightarrow $ $\left| z-u \right|=MP\le \sqrt{14}$.
Đẳng thức xảy ra khi $O$, $M$, $N$ thẳng hàng và $O$ nằm giữa $M$, $N$.
Đáp án C.