Xét các số phức ${z, w}$ thỏa mãn ${|z|=1}$ và ${|w|=2}$. Khi...

Đặt ${z=a+b i, w=c+d i}$ với ${a, b, c, d \in \mathbb{R}}$.
Theo giả thiết ${\left\{\begin{array}{l}|z|=1 \\ |w|=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a^2+b^2=1 \\ c^2+d^2=4\end{array}(*)\right.\right.}$.
Ta có
${|z+i \bar{w}-6-8 i|=|a+b i+i(c-d i)-6-8 i|=|a+d-6+(b+c-8) i|}$
${=\sqrt{(a+d-6)^2+(b+c-8)^2}=\sqrt{(-a-d+6)^2+(-b-c+8)^2} .}$
Khi đó ${\sqrt{(-a-d+6)^2+(-b-c+8)^2}+\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{d^2+c^2} \geq \sqrt{(6)^2+(8)^2}=10}$
${\sqrt{(-a-d+6)^2+(-b-c+8)^2}+3 \geq 10 \Leftrightarrow \sqrt{(a+d-6)^2+(b+c-8)^2} \geq 7}$
Dấu "=" xảy ra khi ${a=\dfrac{3}{5}, b=\dfrac{4}{5}, c=\dfrac{8}{5}, d=\dfrac{6}{5}}$ thỏa mãn ${(*)}$.
Vậy ${|z+i \bar{w}-6-8 i|}$ đạ\operatorname{tg} i á ~ t r ị ~ n h ỏ ~ n h ấ t ~ b ằ n g ~ 7 .
Khi đó ${z=\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5} i, w=\dfrac{8}{5}+\dfrac{6}{5} i}$. Suy ra ${z-w=-1-\dfrac{2}{5} i \Rightarrow|z-w|=\dfrac{\sqrt{29}}{5}}$.