Xét các số phức $z, w$ thỏa mãn $\left| z \right|=\left| w...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Xét các số phức

z, w

thỏa mãn

| z | = | w | = | z - 2 w |

. Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức

T = \frac{| \overset{―}{z} |}{1 + {| z + w |}^{2}}

thuộc tập nào trong các tập dưới đây?
A.

[0, 1]

.
B.

(1; 2]

.
C.

(2; 3]

.
D.

(3; 5]

.

Trường hợp 1: Xét

w = 0 \Rightarrow | z | = | w | = | z - 2 w | = 0

.
Khi đó:

T = \frac{| \overset{―}{z} |}{1 + {| z + w |}^{2}} = \frac{| z |}{1 + {| z + w |}^{2}} = 0 . (1)

Trường hợp 2: Xét

w \neq 0

, đặt

t = \frac{z}{w} = a + b i, (a; b \in R)

.
Ta có:

| z | = | w | = | z - 2 w | \Leftrightarrow {\begin{aligned} | \frac{z}{w} | = 1 \\ | \frac{z}{w} - 2 | = 1 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} | t | = 1 \\ | t - 2 | = 1 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a^{2} + b^{2} = 1 \\ {(a - 2)}^{2} + b^{2} = 1 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = 1 \\ b = 0 \end{aligned}

Suy ra:

t = 1 \Rightarrow z = w

. Khi đó:

T = \frac{| \overset{―}{z} |}{1 + {| z + w |}^{2}} = \frac{| z |}{1 + {| z + w |}^{2}} = \frac{| z |}{1 + 4 {| z |}^{2}} \leq \frac{| z |}{4 | z |} = \frac{1}{4}

.
Đẳng thức xảy ra khi

| z | = \frac{1}{2}

. Vậy

maxT= \frac{1}{4} . (2)

. Từ

(1)

và

(2)

, suy ra:

maxT= \frac{1}{4} .

Đáp án A.

Xét các số phức z,w thỏa mãn $\left| z \right|=\left| w...