Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $\left| z \right|=\left| w \right|=\left| z -\text{2}w \right|$. Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\dfrac{\left| \overline{z} \right|}{1+{{\left| \text{z} \text{+} w \right|}^{2}}}$ thuộc tập nào trong các tập dưới đây?
A. $\left[ 0, 1 \right]$.
B. $\left( 1 ; 2 \right]$.
C. $\left( 2 ; 3 \right]$.
D. $\left( 3 ; 5 \right]$.
A. $\left[ 0, 1 \right]$.
B. $\left( 1 ; 2 \right]$.
C. $\left( 2 ; 3 \right]$.
D. $\left( 3 ; 5 \right]$.
Trường hợp 1: Xét $w=0\Rightarrow \left| z \right|=\left| w \right|=\left| z -\text{2}w \right|=0$.
Khi đó: $T=\dfrac{\left| \overline{z} \right|}{1+{{\left| \text{z} \text{+} w \right|}^{2}}}=\dfrac{\left| z \right|}{1+{{\left| \text{z} \text{+} w \right|}^{2}}}=0 . \left( 1 \right)$
Trường hợp 2: Xét $w\ne 0$, đặt $t=\dfrac{z}{w}=a+bi , \left( a ; b\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có: $\left| z \right|=\left| w \right|=\left| z -\text{2}w \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| \dfrac{z}{w} \right|=1 \\
& \left| \dfrac{z}{w}-2 \right|=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| t \right|=1 \\
& \left| t-2 \right|=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
& {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra: $t=1\Rightarrow z=w$. Khi đó: $T=\dfrac{\left| \overline{z} \right|}{1+{{\left| z \text{+} w \right|}^{2}}}=\dfrac{\left| z \right|}{1+{{\left| z \text{+} w \right|}^{2}}}=\dfrac{\left| z \right|}{1+4{{\left| z \right|}^{2}}}\le \dfrac{\left| z \right|}{4\left| z \right|}=\dfrac{1}{4}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\left| z \right|=\dfrac{1}{2}$. Vậy $\text{maxT=}\dfrac{1}{4} . \left( 2 \right)$. Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra: $\text{maxT=}\dfrac{1}{4} . $
Khi đó: $T=\dfrac{\left| \overline{z} \right|}{1+{{\left| \text{z} \text{+} w \right|}^{2}}}=\dfrac{\left| z \right|}{1+{{\left| \text{z} \text{+} w \right|}^{2}}}=0 . \left( 1 \right)$
Trường hợp 2: Xét $w\ne 0$, đặt $t=\dfrac{z}{w}=a+bi , \left( a ; b\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có: $\left| z \right|=\left| w \right|=\left| z -\text{2}w \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| \dfrac{z}{w} \right|=1 \\
& \left| \dfrac{z}{w}-2 \right|=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| t \right|=1 \\
& \left| t-2 \right|=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
& {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra: $t=1\Rightarrow z=w$. Khi đó: $T=\dfrac{\left| \overline{z} \right|}{1+{{\left| z \text{+} w \right|}^{2}}}=\dfrac{\left| z \right|}{1+{{\left| z \text{+} w \right|}^{2}}}=\dfrac{\left| z \right|}{1+4{{\left| z \right|}^{2}}}\le \dfrac{\left| z \right|}{4\left| z \right|}=\dfrac{1}{4}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\left| z \right|=\dfrac{1}{2}$. Vậy $\text{maxT=}\dfrac{1}{4} . \left( 2 \right)$. Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra: $\text{maxT=}\dfrac{1}{4} . $
Đáp án A.