Xét các số phức $z$, $w$ thỏa mãn $\left| z-1 \right|=\left| z-i...

Đặt $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$.
Ta có: $|z-1|=|z-i|\Rightarrow {(x-1)}^2+y^2=x^2+{(y-1)}^2\iff x-y=0$ do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $d:x-y=0$.
Lại có: $|w-4i|=1$ nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I(0;4)$ và bán kính $R=1$.
Gọi $A$ là điểm biểu diễn của số phức $z$ và $B$ là điểm biểu diễn của số phức $w$ khi đó
$|z-w|=AB$ như vậy $|z-w|$ nhỏ nhất khi $AB$ nhỏ nhất.
Quan sát hình vẽ, nhận thấy: $AB$ nhỏ nhất khi $A$ trùng $A_0$ và $B$ trùng với $B_0$.
Khi đó: $I{B}_0=1$ và $I{A}_0=d(I,d)={\displaystyle \frac{|0-4|}{\sqrt{1^2+{(-1)}^2}}}=2\sqrt{2}$ do vậy $A{B}_{min}=2\sqrt{2}-1$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $|z-w|$ bằng $2\sqrt{2}-1$.