Xét các số phức z, w thỏa mãn $\left| \text{w}-i...

Cách 1:
Ta có: $z+2=iw\Leftrightarrow \text{w}=\dfrac{z+2}{i}$.
Khi đó $\left| \text{w}-i \right|=2\Leftrightarrow \left| \dfrac{z+2}{i}-i \right|=2\Leftrightarrow \left| z+3 \right|=2$ (*).
Gọi $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ và $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức z.
Ta có (*) $\Leftrightarrow {{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$.
Suy ra M nằm trên đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( -3;0 \right)$, bán kính $R=2$.
Ta lại có $\left| z \right|=OM$ đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng d qua hai điểm O và I với đường tròn $\left( C \right)$.
$d:\left\{ \begin{aligned}
& qua\text{ O}\left( 0;0 \right) \\
& \overrightarrow{OI}=\left( -3;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;0 \right) \\
\end{aligned} \right. $ có phương trình tham số $ d:\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Tọa độ giao điểm M là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=0 \\
& {{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=-5 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra hai số phức tương ứng là $z=-1$ và $z=-5$. Vậy $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=6$.
Cách 2:
Ta có $z+2=iw\Leftrightarrow z+3=i\left( \text{w}-i \right)\Rightarrow \left| z+2 \right|=\left| i\left( \text{w}-i \right) \right|=\left| \text{w}-i \right|=2$.
Gọi $z=x+yi$, do $\left| z+3 \right|=2\Leftrightarrow {{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ (*).
Tập hợp các số phức z là đường tròn tâm $I\left( -3;0 \right)$, bán kính $r=2$.
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi$. Ta có $\left| z \right|=OM=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$.
Ta tìm điểm $M\left( x;y \right)$ thuộc đường tròn tâm $I\left( -3;0 \right)$, bán kính $r=2$ sao cho OM đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất (với O nằm ngoài đường tròn vì $OI=3>r$ ).
Ta có $\overrightarrow{OI}=\left( -3;0 \right)$ đường thẳng OI có phương trình $y=0$. Tọa độ giao điểm của (*) và đường thẳng OI là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x=-5 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A=\left( -1;0 \right),B=\left( -5;0 \right)$.
Ta có $O{{M}_{\max }}=OB=5,\text{ O}{{\text{M}}_{\min }}=OA=1$. Suy ra ${{z}_{1}}=-1,{{z}_{2}}=-5,{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-6$.
Vậy $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=6$.