Xét các số phức z, w thỏa mãn $\left| \text{w}-i...

Cách 1:
Ta có: $z+2=iw\iff \text{w}={\displaystyle \frac{z+2}{i}}$.
Khi đó $|\text{w}-i|=2\iff |{\displaystyle \frac{z+2}{i}}-i|=2\iff |z+3|=2$ (*).
Gọi $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$ và $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức z.
Ta có (*) $\iff {(x+3)}^2+y^2=4$.
Suy ra M nằm trên đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I(-3;0)$, bán kính $R=2$.
Ta lại có $\left|z\right|=OM$ đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng d qua hai điểm O và I với đường tròn $\left(C\right)$.
$d:\{\begin{array}{rl}& qua\text{ O}(0;0)\\ & \overrightarrow{OI}=(-3;0)\Rightarrow \overrightarrow{u_d}=(1;0)\end{array}$ có phương trình tham số $d:\{\begin{array}{rl}& x=t\\ & y=0\end{array}$.
Tọa độ giao điểm M là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{rl}& x=t\\ & y=0\\ & {(x+3)}^2+y^2=4\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{rl}& t=-1\\ & t=-5\end{array}$.
Suy ra hai số phức tương ứng là $z=-1$ và $z=-5$. Vậy $|z_1+z_2|=6$.
Cách 2:
Ta có $z+2=iw\iff z+3=i(\text{w}-i)\Rightarrow |z+2|=\left|i(\text{w}-i)\right|=|\text{w}-i|=2$.
Gọi $z=x+yi$, do $|z+3|=2\iff {(x+3)}^2+y^2=4$ (*).
Tập hợp các số phức z là đường tròn tâm $I(-3;0)$, bán kính $r=2$.
Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi$. Ta có $\left|z\right|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
Ta tìm điểm $M(x;y)$ thuộc đường tròn tâm $I(-3;0)$, bán kính $r=2$ sao cho OM đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất (với O nằm ngoài đường tròn vì $OI=3>r$ ).
Ta có $\overrightarrow{OI}=(-3;0)$ đường thẳng OI có phương trình $y=0$. Tọa độ giao điểm của (*) và đường thẳng OI là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{rl}& {(x+3)}^2+y^2=4\\ & y=0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& x=-1\\ & y=0\end{array}\\ & \{\begin{array}{rl}& x=-5\\ & y=0\end{array}\end{array}\Rightarrow A=(-1;0),B=(-5;0)$.
Ta có $O{M}_{max}=OB=5,\text{ O}{\text{M}}_{min}=OA=1$. Suy ra $z_1=-1,z_2=-5,z_1+z_2=-6$.
Vậy $|z_1+z_2|=6$.