Xét các số phức $z$ và $w$ thỏa mãn $\left| z+2+2i \right|=1$ và...

Ta có: $\left| z+2+2i \right|=1$ nên tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( -2;-2 \right)$, bán kính $R=1$.
Gọi $w=x+yi;\left( x;y\in \mathbb{R} \right)$
$\left| w+2-i \right|=\left| w-3i \right|$.
$\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow x+y-1=0. \left( \Delta \right)$
Tập hợp điểm $N$ biểu diễn số phức $w$ là đường thẳng $ \left( \Delta \right)$.
$\left| z-w \right|=MN$
$\left| w-3+3i \right|=NA$, với $A\left( 3;-3 \right)$.
$T=\left| z-w \right|+\left| w-3+3i \right|=MN+NA$.
Tham khảo hình vẽ bên dưới
Dễ thấy đường tròn $\left( C \right)$ và điểm $A$ thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ $\Delta $.
Dựng đường tròn $\left( {{C}'} \right)$ có tâm ${I}'\left( 3;3 \right)$, bán kính $R=1$ đối xứng với $\left( C \right)$ qua $\Delta $.
Gọi ${M}'$ là ảnh của $M$ qua phép đối xứng trục $\Delta $.
Khi đó, với mọi điểm $N\in \Delta $, ta có: $NM=N{M}'$.
Nên $T=MN+NA={M}'N+NA$.
${{T}_{\min }}\Leftrightarrow {I}',{M}',N,A$ thẳng hàng.
Dựa vào hình vẽ trên, suy ra
${M}'\left( 3;2 \right)\Rightarrow M\left( -1;-2 \right)\Leftrightarrow z=-1-2i$ ;
$N\left( 3;-2 \right)\Rightarrow w=3-2i$.
Vậy $\left| z+2w \right|=\left| -1-2i+2\left( 3-2i \right) \right|=\sqrt{61}$.