Xét các số phức $z$ và $w$ thay đổi thỏa mãn...

Ta có: $|\mathrm{w}|=\dfrac{4}{5} \Rightarrow|(3+4 i) \mathrm{w}|=4$.
Đặt $t=(3+4 i) \mathrm{w} \Rightarrow|z|=|t|=4$ và $|z-t|=4 \sqrt{2}$. Khi đó: $P=|z+1+i|+|\mathrm{t}-2+4 \mathrm{i}|$.
$
\begin{aligned}
& \text { Với }\left\{\begin{array}{l}
|z|=|t|=4 \\
|z-t|=4 \sqrt{2}
\end{array} \Rightarrow \sqrt{2}|z|=\sqrt{2}|t|=|z-t|=4 \sqrt{2} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\left|\dfrac{z}{t}-1\right|=\sqrt{2} \\
\left|\dfrac{z}{t}\right|=1
\end{array}\right.\right. \\
& \text { Đặt } \dfrac{z}{t}=a+b i, \quad(a ; b \in R) \\
& \left\{\begin{array} { l }
{ | \dfrac { z } { t } - 1 | = \sqrt { 2 } } \\
{ | \dfrac { z } { t } | = 1 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l }
{ ( a - 1 ) ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 2 } \\
{ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 1 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l }
{ a = 0 } \\
{ b = \pm 1 }
\end{array} \Rightarrow \left[\begin{array}{l}
z=i t \\
z=-i t
\end{array}\right.\right.\right.\right. \\
&
\end{aligned}
$
Trường hợp $1: z=i t \Rightarrow P=|i t+1+i|+|\mathrm{t}-2+4 \mathrm{i}|=|t+1-i|+|\mathrm{t}-2+4 \mathrm{i}|$
$
=|-t-1+i|+|\mathrm{t}-2+4 \mathrm{i}| \geq|-t-1+i+\mathrm{t}-2+4 \mathrm{i}|=|-3+5 \mathrm{i}|=\sqrt{34}
$
Trường hợp 2: $z=-i t \Rightarrow P=|-i t+1+i|+|\mathrm{t}-2+4 \mathrm{i}|=|t-1+i|+|\mathrm{t}-2+4 \mathrm{i}|$
$
=|-t+1-i|+|\mathrm{t}-2+4 \mathrm{i}| \geq|-t+1-i+\mathrm{t}-2+4 \mathrm{i}|=|-1+3 \mathrm{i}|=\sqrt{10}
$
Từ trường hợp và suy ra: Giá trị nhỏ nhất của $P=\sqrt{10}$.