Google
Câu hỏi: Xét các số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và $w=\dfrac{z}{4+z+{{z}^{2}}}$ là số thực. Tìm giá trị lớn nhất ${{P}_{max}}$ của biểu thức $P=\left| z+3-4i \right|$
A. ${{P}_{max}}=9.$
B. ${{P}_{max}}=7.$
C. ${{P}_{max}}=5.$
D. ${{P}_{max}}=6.$
A. ${{P}_{max}}=9.$
B. ${{P}_{max}}=7.$
C. ${{P}_{max}}=5.$
D. ${{P}_{max}}=6.$
HD: Do $w=\dfrac{z}{4+z+{{z}^{2}}}$ là số thực nên $\dfrac{4+z+{{z}^{2}}}{z}=\dfrac{4}{z}+1+z$ là một số thực
Đặt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R},b\ne 0 \right)$ ta có: $\dfrac{4}{a+bi}+a+bi=\dfrac{4\left( a-bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+a+bi$ là số thực
Suy ra phần ảo
Do đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $O\left( 0;0 \right)$ bán kính $R=2.$
Vậy ${{P}_{max}}=R+OE$ với $E\left( -3;4 \right)\Rightarrow {{P}_{\max }}=2+5=7.$
Đặt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R},b\ne 0 \right)$ ta có: $\dfrac{4}{a+bi}+a+bi=\dfrac{4\left( a-bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+a+bi$ là số thực
Suy ra phần ảo
Do đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $O\left( 0;0 \right)$ bán kính $R=2.$
Vậy ${{P}_{max}}=R+OE$ với $E\left( -3;4 \right)\Rightarrow {{P}_{\max }}=2+5=7.$
Đáp án B.