Xét các số phức z thỏa mãn $| z | = 2 \sqrt{2}$ . Biết rằng...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Xét các số phức z thỏa mãn

| z | = 2 \sqrt{2}

. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của số phức

w = \frac{z + 1 - i}{i z + 3}

là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó bằng.
A.

2 \sqrt{10}

.
B.

3 \sqrt{5}

.
C.

2 \sqrt{2}

.
D.

2 \sqrt{7}

.

Có

w = \frac{z + 1 - i}{i z + 3} \Leftrightarrow i z w + 3 w = z + 1 - i \Leftrightarrow z = \frac{1 - i - 3 w}{i w - 1}

, (do

w = \frac{1}{i} = - i

không thỏa mãn)

| z | = 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow | \frac{1 - i - 3 w}{i w - 1} | = 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow | 1 - i - 3 w | = 2 \sqrt{2} | i w - 1 |

\Leftrightarrow | 1 - i - 3 w | = 2 \sqrt{2} | i | . | w + i | \Leftrightarrow | 1 - i - 3 w | = 2 \sqrt{2} | w + i |

(1)

Đặt

w = a + b i

,

(a, b \in R)

,
Khi đó

(1) \Leftrightarrow {(1 - 3 a)}^{2} + {(1 + 3 b)}^{2} = 8 [a^{2} + {(b + 1)}^{2}]

\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - 6 a - 10 b - 6 = 0 \Leftrightarrow {(a - 3)}^{2} + {(b - 5)}^{2} = 40

.
Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của số phức

w = \frac{z + 1 - i}{i z + 3}

là một đường tròn có bán kính bằng

2 \sqrt{20}

.

Đáp án A.

Xét các số phức z thỏa mãn |z|=22. Biết rằng...