Xét các số phức $z$ thỏa mãn $| z | = 1$ . Đặt...

The Knowledge · 17/12/21

Câu hỏi: Xét các số phức

z

thỏa mãn

| z | = 1

. Đặt

w = \frac{2 z - i}{2 + i z}

, giá trị lớn nhất của biểu thức

P = | w + 3 i |

là
A.

P_{max} = 2

.
B.

P_{max} = 3

.
C.

P_{max} = 4

.
D.

P_{max} = 5

.

Ta có

w = \frac{2 z - i}{2 + i z} \Leftrightarrow w (2 + i z) = 2 z - i \Leftrightarrow 2 w + w i z = 2 z - i

Đặt

w = x + y i (x, y \in R) \Rightarrow 2 (x + y i) + (x + y i) i z = 2 z - i

\Leftrightarrow 2 x + 2 y i + x z i - y z = 2 z - i \Leftrightarrow 2 x + (2 y + 1) i = z (y + 2 + x i)

\Rightarrow | 2 x + (2 y + 1) i | = | z (y + 2 + x i) | = | z | . | y + 2 + x i |

\Rightarrow \sqrt{4 x^{2} + {(2 y + 1)}^{2}} = 1. \sqrt{{(y + 2)}^{2} + x^{2}} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 1

.
Vậy w thuộc đường tròn tâm

O (0; 0)

bán kính

R = 1 \Rightarrow P_{max} = 3 + 1 = 4

.

Đáp án C.

Xét các số phức z thỏa mãn |z|=1. Đặt...