Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=1$. Đặt $w=\dfrac{2z-i}{2+iz}$, giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left| w+3i \right|$ là
A. ${{P}_{\max }}=2$.
B. ${{P}_{\max }}=3$.
C. ${{P}_{\max }}=4$.
D. ${{P}_{\max }}=5$.
A. ${{P}_{\max }}=2$.
B. ${{P}_{\max }}=3$.
C. ${{P}_{\max }}=4$.
D. ${{P}_{\max }}=5$.
Ta có $w=\dfrac{2z-i}{2+iz}\Leftrightarrow w\left( 2+iz \right)=2z-i\Leftrightarrow 2w+wiz=2z-i$
Đặt $w=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow 2\left( x+yi \right)+\left( x+yi \right)iz=2z-i$
$\Leftrightarrow 2x+2yi+xzi-yz=2z-i\Leftrightarrow 2x+\left( 2y+1 \right)i=z\left( y+2+xi \right)$
$\Rightarrow \left| 2x+\left( 2y+1 \right)i \right|=\left| z\left( y+2+xi \right) \right|=\left| z \right|.\left| y+2+xi \right|$
$\Rightarrow \sqrt{4{{x}^{2}}+{{\left( 2y+1 \right)}^{2}}}=1.\sqrt{{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$.
Vậy w thuộc đường tròn tâm $O\left( 0;0 \right)$ bán kính $R=1\Rightarrow {{P}_{\max }}=3+1=4$.
Đặt $w=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow 2\left( x+yi \right)+\left( x+yi \right)iz=2z-i$
$\Leftrightarrow 2x+2yi+xzi-yz=2z-i\Leftrightarrow 2x+\left( 2y+1 \right)i=z\left( y+2+xi \right)$
$\Rightarrow \left| 2x+\left( 2y+1 \right)i \right|=\left| z\left( y+2+xi \right) \right|=\left| z \right|.\left| y+2+xi \right|$
$\Rightarrow \sqrt{4{{x}^{2}}+{{\left( 2y+1 \right)}^{2}}}=1.\sqrt{{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$.
Vậy w thuộc đường tròn tâm $O\left( 0;0 \right)$ bán kính $R=1\Rightarrow {{P}_{\max }}=3+1=4$.
Đáp án C.