Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+i \right|\le \sqrt{10}$ và $w=\left( 1+i \right)\overline{z}+2z+1$ là số thuần ảo. Biết rằng tồn tại số phức $z=a+bi;\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ được biểu diễn bởi điểm $M$ trong mặt phẳng $Oxy$ sao cho $MA$ ngắn nhất với điểm $A\left( 1;4 \right)$. Tính $a-b$.
A. $3$.
B. $-3$.
C. $5$.
D. $-5$.
A. $3$.
B. $-3$.
C. $5$.
D. $-5$.
Đặt $z=x+yi$, khi đó $M\left( x;y \right)$ và $w=\left( 1+i \right)\left( x-yi \right)+2\left( x+yi \right)+1=\left( 3x+y+1 \right)+\left( x+y \right)i$
Do $w$ là số thuần ảo nên $3x+y+1=0\Rightarrow z=x+\left( -3x-1 \right)i$
Ta có $\left| z+i \right|\le \sqrt{10}\Leftrightarrow \left| x+\left( -3x-1 \right)i+i \right|\le 10\Leftrightarrow \left| x-3xi \right|\le \sqrt{10}\Leftrightarrow -1\le x\le 1$.
Với điểm $A\left( 1;4 \right)$ ta có $MA=\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{\left( 5+3x \right)}^{2}}}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3x+5 \right)}^{2}}}$ trên $\left[ -1\ ;\ 1 \right]$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{2\left( x-1 \right)+2\left( 3x+5 \right)}{2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3x+5 \right)}^{2}}}}=\dfrac{4x+4}{\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3x+5 \right)}^{2}}}}$
Ta có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-1$, khi đó $\left\{ \begin{matrix}
f\left( -1 \right)=2\sqrt{2}\ \\
f\left( 1 \right)=8 \\
\end{matrix} \right.$.
Suy ra $f\left( x \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất hay $MA$ ngắn nhất khi $x=-1$ hay $z=-1+2i$.
Khi đó $a=-1;\ b=2\Rightarrow a-b=-3$.
Do $w$ là số thuần ảo nên $3x+y+1=0\Rightarrow z=x+\left( -3x-1 \right)i$
Ta có $\left| z+i \right|\le \sqrt{10}\Leftrightarrow \left| x+\left( -3x-1 \right)i+i \right|\le 10\Leftrightarrow \left| x-3xi \right|\le \sqrt{10}\Leftrightarrow -1\le x\le 1$.
Với điểm $A\left( 1;4 \right)$ ta có $MA=\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{\left( 5+3x \right)}^{2}}}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3x+5 \right)}^{2}}}$ trên $\left[ -1\ ;\ 1 \right]$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{2\left( x-1 \right)+2\left( 3x+5 \right)}{2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3x+5 \right)}^{2}}}}=\dfrac{4x+4}{\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3x+5 \right)}^{2}}}}$
Ta có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-1$, khi đó $\left\{ \begin{matrix}
f\left( -1 \right)=2\sqrt{2}\ \\
f\left( 1 \right)=8 \\
\end{matrix} \right.$.
Suy ra $f\left( x \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất hay $MA$ ngắn nhất khi $x=-1$ hay $z=-1+2i$.
Khi đó $a=-1;\ b=2\Rightarrow a-b=-3$.
Đáp án B.