Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left( z-8+16i \right)\left( \overline{z}+2+8i \right)$ là số thuần ảo. Giá trị lớn nhất của $\left| z \right|$ bằng
A. 16.
B. 18.
C. 14.
D. 20.
Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$, gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$.
Khi đó $\left( z-8+16i \right)\left( \overline{z}+2+8i \right)=\left[ \left( x-8 \right)+\left( y+16 \right)i \right].\left[ \left( x+2 \right)+\left( 8-y \right)i \right]$
$=\left( x-8 \right)\left( x+2 \right)+\left( y+16 \right)\left( y-8 \right)+\left[ \left( x-8 \right)\left( 8-y \right)+\left( y+16 \right)\left( x+2 \right) \right]i$
Do đó $\left( z-8+16i \right)\left( \overline{z}+2+8i \right)$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \left( x-8 \right)\left( x+2 \right)+\left( y+16 \right)\left( y-8 \right)=0$
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=169$.
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn cho số phức $z$ thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm $I\left( 3;-4 \right)$, bán kính $R=13$.
Ta thấy $O$ nằm trong đường tròn nên $\max OM=OI+R=5+13=18$.
A. 16.
B. 18.
C. 14.
D. 20.
Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$, gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$.
Khi đó $\left( z-8+16i \right)\left( \overline{z}+2+8i \right)=\left[ \left( x-8 \right)+\left( y+16 \right)i \right].\left[ \left( x+2 \right)+\left( 8-y \right)i \right]$
$=\left( x-8 \right)\left( x+2 \right)+\left( y+16 \right)\left( y-8 \right)+\left[ \left( x-8 \right)\left( 8-y \right)+\left( y+16 \right)\left( x+2 \right) \right]i$
Do đó $\left( z-8+16i \right)\left( \overline{z}+2+8i \right)$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \left( x-8 \right)\left( x+2 \right)+\left( y+16 \right)\left( y-8 \right)=0$
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=169$.
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn cho số phức $z$ thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm $I\left( 3;-4 \right)$, bán kính $R=13$.
Ta thấy $O$ nằm trong đường tròn nên $\max OM=OI+R=5+13=18$.
Đáp án B.