Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-3+i \right|=2\left| z-2i \right|$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$. Giá trị của $M+m$ bằng
A. $2\sqrt{10}$.
B. $\sqrt{10}$.
C. $4\sqrt{2}$.
D. $2\sqrt{2}$.
Gọi $A\left( x; y \right)$ là điểm biểu diễn của số $z$ trong mặt phẳng $Oxyz$.
Ta có $\left| z-3+i \right|=2\left| z-2i \right|$ $\Leftrightarrow \left| \left( x-3 \right)+i\left( 1+y \right) \right|=2\left| x+i\left( y-2 \right) \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( 1+y \right)}^{2}}=4\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}} \right]$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-6y+2=0$
$\Rightarrow A$ thuộc đường tròn tâm $I\left( -1; 3 \right), R=2\sqrt{2}$
Mặt khác $OC\le \left| z \right|=OA\le OD\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left| z \right|}_{\min }}=OI-R \\
& {{\left| z \right|}_{\max }}=OI+R \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M+m=2OI=2\sqrt{10}$.
A. $2\sqrt{10}$.
B. $\sqrt{10}$.
C. $4\sqrt{2}$.
D. $2\sqrt{2}$.
Ta có $\left| z-3+i \right|=2\left| z-2i \right|$ $\Leftrightarrow \left| \left( x-3 \right)+i\left( 1+y \right) \right|=2\left| x+i\left( y-2 \right) \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( 1+y \right)}^{2}}=4\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}} \right]$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-6y+2=0$
$\Rightarrow A$ thuộc đường tròn tâm $I\left( -1; 3 \right), R=2\sqrt{2}$
Mặt khác $OC\le \left| z \right|=OA\le OD\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left| z \right|}_{\min }}=OI-R \\
& {{\left| z \right|}_{\max }}=OI+R \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M+m=2OI=2\sqrt{10}$.
Đáp án A.