Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-3+4i \right|=2.$ Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|.$ Tổng ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}$ bằng:
A. 58
B. 52
C. 65
D. 45
A. 58
B. 52
C. 65
D. 45
Phương pháp:
Sử dụng BĐT $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\ge \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|$
Cách giải:
Ta có:
$2=\left| z-3+4i \right|=\left| z-\left( 3-4i \right) \right|\ge \left| \left| z \right|-\left| 3-4i \right| \right|$
$\Rightarrow \left| \left| z \right|-5 \right|\le 2\Leftrightarrow -2\le \left| z \right|-5\le 2\Leftrightarrow 3\le \left| z \right|\le 7$
$\Rightarrow M={{\left| z \right|}_{\max }}=7,m={{\left| z \right|}_{\min }}=3.$
Vậy ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}={{7}^{2}}+{{3}^{2}}=58.$
Sử dụng BĐT $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\ge \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|$
Cách giải:
Ta có:
$2=\left| z-3+4i \right|=\left| z-\left( 3-4i \right) \right|\ge \left| \left| z \right|-\left| 3-4i \right| \right|$
$\Rightarrow \left| \left| z \right|-5 \right|\le 2\Leftrightarrow -2\le \left| z \right|-5\le 2\Leftrightarrow 3\le \left| z \right|\le 7$
$\Rightarrow M={{\left| z \right|}_{\max }}=7,m={{\left| z \right|}_{\min }}=3.$
Vậy ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}={{7}^{2}}+{{3}^{2}}=58.$
Đáp án A.