Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {{z}^{2}}-2z+5 \right|=\left|...

Ta có: $|z^2-2z+5|=\left|(z-1+2i)(z+3-4i)\right|\iff |z-1+2i|.|z-1-2i|=|z-1+2i|.|z+3-4i|$
$\iff [\begin{array}{rl}& |z-1+2i|=0\\ & |z-1-2i|=|z+3-4i|\end{array}$.
Trường hợp 1: $|z-1+2i|=0\iff z=1-2i\Rightarrow |z+1-i|=|2-3i|=\sqrt{13}$.
Trường hợp 2: $|z-1-2i|=|z+3-4i|$. Đặt $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$.
Khi đó $|z-1-2i|=|z+3-4i|\Rightarrow \sqrt{{(x-1)}^2+{(y-2)}^2}=\sqrt{{(x+3)}^2+{(y-4)}^2}\iff 2x-y+5=0\left(d\right)$.
Gọi $M(x;y),A(-1;1)$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức $z$ và $-1+i$. Ta có: $|z+1-i|=MA$.
Đoạn thẳng MA đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng $d$.
Mặt khác, $d(A;d)={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}$ nên $minMA={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}$ khi $M(-{\displaystyle \frac{9}{5}};{\displaystyle \frac{7}{5}})$.
So sánh hai trường hợp ta thấy $min|z+1-i|={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}$ khi $z=-{\displaystyle \frac{9}{5}}+{\displaystyle \frac{7}{5}}i$.