Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {{z}^{2}}-2z+5 \right|=\left|...

Ta có: $\left| {{z}^{2}}-2z+5 \right|=\left| \left( z-1+2i \right)\left( z+3-4i \right) \right|\Leftrightarrow \left| z-1+2i \right|.\left| z-1-2i \right|=\left| z-1+2i \right|.\left| z+3-4i \right|$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| z-1+2i \right|=0 \\
& \left| z-1-2i \right|=\left| z+3-4i \right| \\
\end{aligned} \right.$.
Trường hợp 1: $\left| z-1+2i \right|=0\Leftrightarrow z=1-2i\Rightarrow \left| z+1-i \right|=\left| 2-3i \right|=\sqrt{13}$.
Trường hợp 2: $\left| z-1-2i \right|=\left| z+3-4i \right|$. Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Khi đó $\left| z-1-2i \right|=\left| z+3-4i \right|\Rightarrow \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow 2x-y+5=0\left( d \right)$.
Gọi $M\left( x;y \right),A\left( -1;1 \right)$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức $z$ và $-1+i$. Ta có: $\left| z+1-i \right|=MA$.
Đoạn thẳng MA đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng $d$.
Mặt khác, $d\left( A;d \right)=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ nên $\min MA=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ khi $M\left( -\dfrac{9}{5};\dfrac{7}{5} \right)$.
So sánh hai trường hợp ta thấy $\min \left| z+1-i \right|=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ khi $z=-\dfrac{9}{5}+\dfrac{7}{5}i$.