Google
Câu hỏi: Xét các số phức z thoả mãn $\left( \overline{z}+2i \right)\left( z-2 \right)$ là số thuần ảo. Trên mặt phẳng toạ độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng
A. 2.
B. $2\sqrt{2}.$
C. 4.
D. $\sqrt{2}.$
A. 2.
B. $2\sqrt{2}.$
C. 4.
D. $\sqrt{2}.$
Giả sử $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}.$ Vì
$\left( \overline{z}+2i \right)\left( z-2 \right)=\left[ x+\left( 2-y \right)i \right]\left[ \left( x-2 \right)+yi \right]$
$=\left[ x\left( x-2 \right)-y\left( 2-y \right) \right]+\left[ xy+\left( x-2 \right)\left( 2-y \right) \right]i$ là số thuần ảo nên có phần thực bằng 0, do đó
$x\left( x-2 \right)-y\left( 2-y \right)=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=2$. Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{2}.$
$\left( \overline{z}+2i \right)\left( z-2 \right)=\left[ x+\left( 2-y \right)i \right]\left[ \left( x-2 \right)+yi \right]$
$=\left[ x\left( x-2 \right)-y\left( 2-y \right) \right]+\left[ xy+\left( x-2 \right)\left( 2-y \right) \right]i$ là số thuần ảo nên có phần thực bằng 0, do đó
$x\left( x-2 \right)-y\left( 2-y \right)=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=2$. Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{2}.$
Đáp án D.