Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\dfrac{z+2}{z-2i}$ là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $z$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng
A. $1$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $2$.
A. $1$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $2$.
Đặt $z=a+bi, a,b\in \mathbb{R}$. Gọi $M\left( a;b \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z$.
Có $\text{w}=\dfrac{z+2}{z-2i}=\dfrac{a+2+bi}{a+\left( b-2 \right)i}$ $=\dfrac{\left( a+2+bi \right)\left[ a-\left( b-2 \right)i \right]}{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{a\left( a+2 \right)+b\left( b-2 \right)+\left[ -\left( a+2 \right)\left( b-2 \right)+ab \right]i}{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}$
$\text{w}$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\left( a+2 \right)+b\left( b-2 \right)=0 \left( 1 \right) \\
& {{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
Có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a-2b=0$.
Suy ra $M$ thuộc đường tròn tâm $I\left( -1;1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.
Có $\text{w}=\dfrac{z+2}{z-2i}=\dfrac{a+2+bi}{a+\left( b-2 \right)i}$ $=\dfrac{\left( a+2+bi \right)\left[ a-\left( b-2 \right)i \right]}{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{a\left( a+2 \right)+b\left( b-2 \right)+\left[ -\left( a+2 \right)\left( b-2 \right)+ab \right]i}{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}$
$\text{w}$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\left( a+2 \right)+b\left( b-2 \right)=0 \left( 1 \right) \\
& {{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
Có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a-2b=0$.
Suy ra $M$ thuộc đường tròn tâm $I\left( -1;1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.
Đáp án B.