Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z,$ $\text{w}$ thỏa mãn $\left| z \right|=2$ và $\left| i.\overline{w} \right|=1$. Khi $\left| iz+w+3-4i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất, $\left| z-\text{w} \right|$ bằng
A. $\sqrt{5}$.
B. $\dfrac{\sqrt{29}}{5}$.
C. $3$.
D. $\dfrac{\sqrt{221}}{5}$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& w={{k}_{1}}\left( 3-4i \right) khi \left( {{k}_{1}}<0 \right) \\
& i.z={{k}_{2}}\left( 3-4i \right) khi \left( {{k}_{2}}<0 \right) \\
\end{aligned} \right. $ và $ \left\{ \begin{aligned}
& \left| w \right|=\left| i\overline{w} \right|=1 \\
& \left| iz \right| =\left| z \right|=2 \\
\end{aligned} \right. $.
Giải hệ trên suy ra ${{k}_{2}}=-\dfrac{2}{5}$ ; ${{k}_{1}}=-\dfrac{1}{5}$.
Hay $\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& w=-\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}i \\
& iz=\dfrac{-2}{5}\left( 3-4i \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow -z=\dfrac{-2i}{5}\left( 3-4i \right)\Rightarrow z=-\dfrac{8}{5}-\dfrac{6}{5}i \\
\end{aligned}$
Khi đó $z-w=-1-2i$ $\Rightarrow \left| z-\text{w} \right|=\sqrt{5}$.
A. $\sqrt{5}$.
B. $\dfrac{\sqrt{29}}{5}$.
C. $3$.
D. $\dfrac{\sqrt{221}}{5}$.
Ta có $\left| iz+w+3-4i \right|\ge \left| 3-4i \right|-\left| iz+w \right|\ge 5-\left( \left| iz \right|+\left| w \right| \right)\ge 5-\left( 2+1 \right)=2$ Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& w={{k}_{1}}\left( 3-4i \right) khi \left( {{k}_{1}}<0 \right) \\
& i.z={{k}_{2}}\left( 3-4i \right) khi \left( {{k}_{2}}<0 \right) \\
\end{aligned} \right. $ và $ \left\{ \begin{aligned}
& \left| w \right|=\left| i\overline{w} \right|=1 \\
& \left| iz \right| =\left| z \right|=2 \\
\end{aligned} \right. $.
Giải hệ trên suy ra ${{k}_{2}}=-\dfrac{2}{5}$ ; ${{k}_{1}}=-\dfrac{1}{5}$.
Hay $\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& w=-\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}i \\
& iz=\dfrac{-2}{5}\left( 3-4i \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow -z=\dfrac{-2i}{5}\left( 3-4i \right)\Rightarrow z=-\dfrac{8}{5}-\dfrac{6}{5}i \\
\end{aligned}$
Khi đó $z-w=-1-2i$ $\Rightarrow \left| z-\text{w} \right|=\sqrt{5}$.
Đáp án A.