Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z=a+bi$, $\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}}$. Tính $F=-a+4b$ khi $\left| z-\dfrac{1}{2}+3i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất
A. $F=7$.
B. $F=6$.
C. $F=5$.
D. $F=4$.
A. $F=7$.
B. $F=6$.
C. $F=5$.
D. $F=4$.
Ta có
$4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow 4\left( a+bi-a+bi \right)-15i=i{{\left( a+bi+a-bi-1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow 8b-15={{\left( 2a-1 \right)}^{2}}$ suy ra $b\ge \dfrac{15}{8}$.
$\left| z-\dfrac{1}{2}+3i \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2b+6 \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{8b-15+4{{b}^{2}}+24b+36}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4{{b}^{2}}+32b+21}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=4{{x}^{2}}+32x+21$ với $x\ge \dfrac{15}{8}$
${f}'\left( x \right)=8x+32>0,\forall x\ge \dfrac{15}{8}$ suy ra $f\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left[ \dfrac{15}{8};+\infty \right)$ nên $f\left( x \right)\ge f\left( \dfrac{15}{8} \right)=\dfrac{4353}{16}$.
Do đó $\left| z-\dfrac{1}{2}+3i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{4353}{16}}$ khi $b=\dfrac{15}{8};a=\dfrac{1}{2}$.
Khi đó $F=-a+4b=7$.
$4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow 4\left( a+bi-a+bi \right)-15i=i{{\left( a+bi+a-bi-1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow 8b-15={{\left( 2a-1 \right)}^{2}}$ suy ra $b\ge \dfrac{15}{8}$.
$\left| z-\dfrac{1}{2}+3i \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2b+6 \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{8b-15+4{{b}^{2}}+24b+36}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4{{b}^{2}}+32b+21}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=4{{x}^{2}}+32x+21$ với $x\ge \dfrac{15}{8}$
${f}'\left( x \right)=8x+32>0,\forall x\ge \dfrac{15}{8}$ suy ra $f\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left[ \dfrac{15}{8};+\infty \right)$ nên $f\left( x \right)\ge f\left( \dfrac{15}{8} \right)=\dfrac{4353}{16}$.
Do đó $\left| z-\dfrac{1}{2}+3i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{4353}{16}}$ khi $b=\dfrac{15}{8};a=\dfrac{1}{2}$.
Khi đó $F=-a+4b=7$.
Đáp án A.