Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z=a+bi$ $\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left| z-4-3i \right|=\sqrt{5}$. Tính $P=\left| a \right|+\left| b \right|$ khi $\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $P=10$.
B. $P=4$.
C. $P=6$.
D. $P=8$.
A. $P=10$.
B. $P=4$.
C. $P=6$.
D. $P=8$.
Xét các điểm $M\left( a ; b \right)$, $I\left( 4 ; 3 \right)$, $A \left( -1 ; 3 \right)$, $B\left( 1 ; -1 \right)$.
$\left| z-4-3i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow IM=\sqrt{5}\Leftrightarrow $ $M$ thuộc đường tròn tâm $I$, bán kính $R=\sqrt{5}$.
$\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|=$ $MA+MB\le \sqrt{2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}=\sqrt{4M{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}}$, trong đó $H\left( 0 ; 1 \right)$ là
+) Ta có:
$MA+MB\le \sqrt{2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}=\sqrt{4M{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}}$, trong đó $H\left( 0 ; 1 \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.
+) Mặt khác theo bất đẳng thức tam giác:
$MH\le MI+IH=R+IH=\sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}, AB=2\sqrt{5}$.
Do đó $T\le \sqrt{4{{\left( 3\sqrt{5} \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}}=10\sqrt{2}$.
Dấu bằng đạt tại $\left\{ \begin{aligned}
& MA=MB \\
& \overrightarrow{MI}=\dfrac{MI}{IH}\overrightarrow{IH}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{IH}=\left( -2 ; -1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( 6 ; 4 \right)\Rightarrow P=6+4=10$.
$\left| z-4-3i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow IM=\sqrt{5}\Leftrightarrow $ $M$ thuộc đường tròn tâm $I$, bán kính $R=\sqrt{5}$.
$\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|=$ $MA+MB\le \sqrt{2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}=\sqrt{4M{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}}$, trong đó $H\left( 0 ; 1 \right)$ là
+) Ta có:
$MA+MB\le \sqrt{2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}=\sqrt{4M{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}}$, trong đó $H\left( 0 ; 1 \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.
+) Mặt khác theo bất đẳng thức tam giác:
$MH\le MI+IH=R+IH=\sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}, AB=2\sqrt{5}$.
Do đó $T\le \sqrt{4{{\left( 3\sqrt{5} \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}}=10\sqrt{2}$.
Dấu bằng đạt tại $\left\{ \begin{aligned}
& MA=MB \\
& \overrightarrow{MI}=\dfrac{MI}{IH}\overrightarrow{IH}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{IH}=\left( -2 ; -1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( 6 ; 4 \right)\Rightarrow P=6+4=10$.
Đáp án A.