Xét các số phức $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn...

Ta có: $\left| z-4-3i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}=5\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=8a+6b-20$
Đặt $A=\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|$ ta có: $A=\sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}}$
${{A}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}+{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}} \right)=2\left( 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-4b+12 \right)$
$=2\left( 16a+8b-28 \right)=8\left( 4a+2b-7 \right)$ (1). Mặt khác ta có:
$4a+2b-7=4\left( a-4 \right)+2\left( b-3 \right)+15\le \sqrt{\left( {{4}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left( {{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}} \right)}+15=25$ (2)
Từ (1) và (2) ta được: ${{A}^{2}}\le 200.$ Để ${{A}_{\max }}=10\sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4a+2b-7=25 \\
& \dfrac{a-4}{4}=\dfrac{b-3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=6 \\
& b=4 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $P=a+b=10.$