Xét các số phức $z=a+bi \left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn...

Đặt $A\left( -1; -6 \right), B\left( 7; 2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 8; 8 \right)$ và trung điểm của $AB$ là $K\left( 3; -2 \right)$.
Gọi $M\left( a; b \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z$ ta có: ${{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}=8$.
$\Rightarrow M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( -2; 3 \right)$, bán kính $R=\sqrt{8}$.
Ta thấy $\overrightarrow{IK}=\left( 5; -5 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IK}.\overrightarrow{AB}=0\Rightarrow I$ nằm trên đường thẳng trung trực của $AB$.
Xét tam giác $MAB\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{K}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}$.
$\Rightarrow 2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)=4M{{K}^{2}}+A{{B}^{2}}\ge {{\left( MA+MB \right)}^{2}}\Rightarrow MA+MB\le \sqrt{4M{{K}^{2}}+A{{B}^{2}}}$.
Ta có $\left| z+1+6i \right|+\left| z-7-2i \right|$ là tổng khoảng cách từ điểm $M$ trên đường tròn $\left( C \right)$ tới hai điểm $A$ và $B$.
Vậy $MA+MB$ lớn nhất khi: $\left\{ \begin{aligned}
& MA=MB \\
& MK \max \\
\end{aligned} \right. $. Điều này xảy ra khi $ M $ là giao điểm của $ IK $ với đường tròn $ \left( C \right) $ và $ M $ nằm ngoài đoạn $ IK$.
Ta có phương trình của đường thẳng $IK: \left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=3-t \\
\end{aligned} \right.$.
Tọa độ giao điểm của $IK$ với đường tròn $\left( C \right)$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=3-t \\
& {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2{{t}^{2}}=8\Rightarrow t=\pm 2$.
Vậy điểm $M$ cần tìm ứng với $t=-2$ khi đó
$M\left( -4; 5 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-4 \\
& b=5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P=2a+b=-8+5=-3$