Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ có môđun bằng 2 và phần ảo dương. Tính giá trị biểu thức $S={{\left[ 5\left( a+b \right)+2 \right]}^{2022}}$ khi biểu thức $P=\left| 2+z \right|+3\left| 2-z \right|$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $S=0$.
B. $S=1$.
C. $S={{2}^{2022}}$.
D. $S={{2}^{2023}}$.
A. $S=0$.
B. $S=1$.
C. $S={{2}^{2022}}$.
D. $S={{2}^{2023}}$.
Gọi $M\left( a;b \right)$ với $b>0$ là điểm biểu diễn số phức z.
Gọi $A\left( -2;0 \right)$, $B\left( 2;0 \right)$. Ta có $\left| z \right|=2\xrightarrow[{}]{{}}\left| a+bi \right|=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4$.
Suy ra M thuộc đường tròn $\left( C \right)$ đường kính AB nên $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=16$.
Khi đó $P=\left| 2+z \right|+3\left| 2-z \right|=MA+3MB\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{3}^{2}} \right)\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}=4\sqrt{10}$.
Dâu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& M\in \left( C \right) \\
& MA=\dfrac{MB}{3} \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow[{}]{b>0}M\left( -\dfrac{8}{5};\dfrac{6}{5} \right)\xrightarrow[{}]{{}}S={{\left[ 5\left( -\dfrac{8}{5}+\dfrac{6}{5} \right)+2 \right]}^{2022}}=0$.
Gọi $A\left( -2;0 \right)$, $B\left( 2;0 \right)$. Ta có $\left| z \right|=2\xrightarrow[{}]{{}}\left| a+bi \right|=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4$.
Suy ra M thuộc đường tròn $\left( C \right)$ đường kính AB nên $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=16$.
Dâu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& M\in \left( C \right) \\
& MA=\dfrac{MB}{3} \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow[{}]{b>0}M\left( -\dfrac{8}{5};\dfrac{6}{5} \right)\xrightarrow[{}]{{}}S={{\left[ 5\left( -\dfrac{8}{5}+\dfrac{6}{5} \right)+2 \right]}^{2022}}=0$.
Đáp án A.