Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ có modun bằng 2 và có phần ảo dương. Tính giá trị của biểu thức $S={{\left[ 5\left( a+b \right)+2 \right]}^{2018}}$ khi biểu thức $P=\left| 2+z \right|+3\left| 2-z \right|$ đạt giá trị lớn nhất?
A. $S=1$
B. $S={{2}^{2018}}$
C. $S={{2}^{1009}}$
D. $S=0$
A. $S=1$
B. $S={{2}^{2018}}$
C. $S={{2}^{1009}}$
D. $S=0$
Ta có $\left| z \right|=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4$.
Lại có $P=\left| 2+z \right|+3\left| 2-z \right|=\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}$.
Suy ra ${{P}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{3}^{2}} \right).\left[ {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}} \right]=10\left[ 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+8 \right]=160$.
Do đó ${{P}^{2}}\le 160\Rightarrow P\le 4\sqrt{10}\Rightarrow {{P}_{\max }}=4\sqrt{10}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& b>0;\ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\
& {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=\dfrac{8}{5} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left( a;b \right)=\left( -\dfrac{8}{5};\dfrac{6}{5} \right)$.
Vậy $5\left( a+b \right)+2=0\xrightarrow[{}]{}S=0$.
Lại có $P=\left| 2+z \right|+3\left| 2-z \right|=\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}$.
Suy ra ${{P}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{3}^{2}} \right).\left[ {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}} \right]=10\left[ 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+8 \right]=160$.
Do đó ${{P}^{2}}\le 160\Rightarrow P\le 4\sqrt{10}\Rightarrow {{P}_{\max }}=4\sqrt{10}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& b>0;\ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\
& {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=\dfrac{8}{5} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left( a;b \right)=\left( -\dfrac{8}{5};\dfrac{6}{5} \right)$.
Vậy $5\left( a+b \right)+2=0\xrightarrow[{}]{}S=0$.
Đáp án D.