Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z=a+b i(a, b \in \mathbb{R})$ thỏa mãn điều kiện $4(z-\bar{z})-15 i=i(z+\bar{z}-1)^2$. Tính $P=-a+4 b$ khi $\left|z-\dfrac{1}{2}+3 i\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. $P=6$.
B. $P=7$.
C. $P=4$.
D. $P=5$.
A. $P=6$.
B. $P=7$.
C. $P=4$.
D. $P=5$.
$
\begin{aligned}
& 4(z-\bar{z})-15 i=i(z+\bar{z}-1)^2 \Leftrightarrow 4(a+b i-a+b i)-15 i=i(a+b i+a-b i-1)^2 . \\
& \Leftrightarrow 4(2 b i)-15 i=i(2 a-1)^2 \Leftrightarrow 8 b-15=(2 a-1)^2 \Leftrightarrow b=\dfrac{a^2-a+4}{2} .
\end{aligned}
$
Suy ra điểm $M$ biểu diễn cho số phức $z$ là Parabol có phương trình $y=\dfrac{x^2-x+4}{2}$.
Gọi $N\left(\dfrac{1}{2} ;-3\right)$.
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow\left|z-\dfrac{1}{2}+3 i\right|=M N=\sqrt{\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a^2-a+10}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{39}{4}}{2}\right)^2} \geq \dfrac{39}{8} . \\
& \Rightarrow \min \left|z-\dfrac{1}{2}+3 i\right|=\dfrac{39}{8} \text { khi } a=\dfrac{1}{2} ; \quad b=\dfrac{15}{8} \Rightarrow P=-a+4 b=7 .
\end{aligned}
$
\begin{aligned}
& 4(z-\bar{z})-15 i=i(z+\bar{z}-1)^2 \Leftrightarrow 4(a+b i-a+b i)-15 i=i(a+b i+a-b i-1)^2 . \\
& \Leftrightarrow 4(2 b i)-15 i=i(2 a-1)^2 \Leftrightarrow 8 b-15=(2 a-1)^2 \Leftrightarrow b=\dfrac{a^2-a+4}{2} .
\end{aligned}
$
Suy ra điểm $M$ biểu diễn cho số phức $z$ là Parabol có phương trình $y=\dfrac{x^2-x+4}{2}$.
Gọi $N\left(\dfrac{1}{2} ;-3\right)$.
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow\left|z-\dfrac{1}{2}+3 i\right|=M N=\sqrt{\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a^2-a+10}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{39}{4}}{2}\right)^2} \geq \dfrac{39}{8} . \\
& \Rightarrow \min \left|z-\dfrac{1}{2}+3 i\right|=\dfrac{39}{8} \text { khi } a=\dfrac{1}{2} ; \quad b=\dfrac{15}{8} \Rightarrow P=-a+4 b=7 .
\end{aligned}
$
Đáp án B.