Xét các số phức ${{z}_{1}}=x-2+(y+2)i ;$ ${{z}_{2}}=x+yi (x,y\in...

Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{2}}$
Ta có:
$\left| {{z}_{1}} \right|=1\Leftrightarrow \left| x-2+(y+2)i \right| =1\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=1 \left( T \right).$
Đường tròn $\left( T \right)$ có tâm $I\left( 2;-2 \right)$, bán kính $R=1$, có $OI=\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{2}$.
Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $O$, bán kính $OM$.
Bài yêu cầu: Tìm số phức ${{z}_{2}}$ có: $\left| {{z}_{2}} \right|={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ lớn nhất.
Bài toán trở thành: Tìm vị trí điểm $M(x;y)\in (C)$ sao cho $OM$ max $\Leftrightarrow OM=OI+R=2\sqrt{2}+1.$
$\dfrac{\left| \overrightarrow{OM} \right|}{\left| \overrightarrow{OI} \right|}=\dfrac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}=1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\left( 1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right)\overrightarrow{OI}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=\left( 1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right){{x}_{I}} \\
& {{y}_{M}}=\left( 1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right){{y}_{I}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{y}_{M}}=\left( 1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right)\left( -2 \right)=-2-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=-\left( 2+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$